§ 1. Закон индукции. Фарадея

Первые количественные исследования связи переменных электрического и магнитного полей были проведены в 1831 г. Фарадеем при опытах с контурами, помещенными в переменное магнитной поле. Фарадей заметил, что в контуре индуцируется ток в случаях, когда а) в соседнем контуре включается или выключается постоянный ток, б) соседний контур с постоянным током движется относительно первого контура, в) внутрь контура вносится (или из него выносится) постоянный магнит.

Фиг. 6.1.

Если ток в соседнем контуре не изменяется и не происходит относительного движения контуров, то никакого тока не возникает. Фарадей интерпретировал возникновение этих токов как следствие изменения магнитного потока, пронизывающего данный контур. Изменение потока индуцирует электрическое поле, линейный интеграл от которого, взятый вдоль контура, называется электродвижущей силой Эта электродвижущая сила в соответствии с законом Ома и вызывает появление тока.

Представим наблюдения Фарадея в количественной математической форме. Рассмотрим поверхность S с единичной нормалью , ограниченную контуром С, как показано на фиг. 6.1. Пусть контур С помещен в магнитное поле В. Тогда магнитный поток, пронизывающий контур, будет

Электродвижущая сила в контуре определяется выражением

где Е — электрическое поле на элементе контура С. Наблюдения Фарадея можно выразить математически в виде

Электродвижущая сила индукции в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего данный контур. Знак определяется законом Ленца, утверждающим, что индуцированный ток (и соответствующий ему магнитный поток) имеет такое направление, что препятствует изменению потока сквозь контур.

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора единиц измерения величин электрического и магнитного полей. Он не является, как это можно было бы предположить, независимой эмпирической постоянной, которую можно определить из эксперимента. Ниже мы увидим, что после выбора единиц и размерностей в законе Ампера величина и размерность k получаются из требования галилеевской инвариантности закона Фарадея. В гауссовых единицах , где с — скорость света.

До появления специальной теории относительности (да и после ее появления в случае, когда относительные скорости малы по сравнению со скоростью света) всегда подразумевалось, хотя подчас явно и не формулировалось, что все физические законы инвариантны относительно преобразований Галилея. Это означает, что физические явления протекают одинаково с точки зрения двух наблюдателей, движущихся с постоянной скоростью v относительно друг друга, если пространственные и временные координаты связаны преобразованием Галилея Рассмотрим, в частности, опыты Фарадея. Как установлено экспериментально, в контуре возникают одинаковые токи независимо от того, движется ли этот контур относительно токонесущего контура или же он покоится, а движется токонесущий контур, лишь бы их относительное движение в обоих случаях было одинаковым.

Рассмотрим теперь закон Фарадея для движущегося контура и посмотрим, к каким следствиям приводит галилеевская инвариантность. Выражая (6.3) через интегралы от Е и В, мы получаем

Наведенная в контуре электродвижущая сила пропорциональна полной производной по времени от магнитного потока, который может изменяться как при изменении магнитного поля, так и при изменении формы, ориентации или положения контура. Уравнение (6.4) является обобщением закона Фарадея. В качестве контура С мы можем представлять себе любую замкнутую геометрическую линию в пространстве, не обязательно совпадающую с электрическим контуром. При этом (6.4) дает связь между самими полями.

Фиг. 6.2.

Следует, однако, иметь в виду, что электрическое поле Е представляет собой электрическое поле в элементе в системе координат, в которой покоится; именно это поле вызывает появление тока в случае наличия реального контура в этом месте.

Если контур С движется со скоростью v в некотором направлении, как показано на фиг. 6.2, то при вычислении полной производной в (6.4) необходимо учесть это движение. Тогда поток через контур может изменяться вследствие изменения магнитного поля во времени, а также из-за того, что при перемещении контура изменяется положение его границы. Легко показать, что полная производная от потока через движущийся контур равна

    (6.5)

Уравнение (6.4) можно записать теперь в виде

Это уравнение описывает закон Фарадея в применении к движущемуся контуру С. Но мы можем интерпретировать его и иначе. Мы можем считать, что контур С и поверхность S занимают некоторое мгновенное положение в пространстве в лабораторной системе координат. Применяя закон Фарадея (6.4) к этому фиксированному контуру, находим

где Е — электрическое поле в лабораторной системе координат. Условие галилеевской инвариантности приводит к требованию равенства левых частей уравнений (6.6) и (6.7). Это означает, что электрическое поле Е в движущейся системе координат связанной с контуром, равно

Для определения константы k рассмотрим смысл величины На заряженную частицу (например, один из электронов проводимости) в движущемся контуре действует сила Но в лабораторной системе координат эта частица создает ток Соотношения (5.7) или (5.12) определяют силу, действующую на этот ток, которая совпадает с (6.8), если постоянная k равна Таким образом, закон Фарадея принимает вид

где Е — электрическое поле на элементе в системе координат, в которой элемент покоится. Производная в правой части является полной производной повремени. Если контур С движется со скоростью v, то электрическое поле в движущейся системе координат будет

Приведенные результаты справедливы только для нерелятивистских скоростей. Галилеевская инвариантность не является строгим законом и применима только для относительных скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Выражение (6.10) справедливо только с точностью до членов первого порядка по и имеет погрешность порядка (см. гл. 11, § 10). Однако очевидно, что для лабораторных экспериментов с макроскопическими контурами выражения (6.9) и (6.10) имеют вполне достаточную точность.

Закон Фарадея (6.9) можно записать также и в дифференциальной форме, если воспользоваться теоремой Стокса и считать контур

покоящимся в выбранной системе отсчета (для того чтобы Е и В были определены в одной и той же системе отсчета). Преобразуя интеграл, выражающий электродвижущую силу, в поверхностный интеграл, приходим к соотношению

В силу произвольности поверхности S, опирающейся на произвольный контур С, подынтегральное выражение должно обращаться в нуль во всех точках пространства.

Таким образом, дифференциальная форма закона Фарадея имеет вид

Заметим, что (6.11) является обобщением уравнения для статического электрического поля на случай переменных полей.