§ 3. Тормозное излучение при релятивистском движении

При расчете излучения при соударении релятивистских частиц с атомными ядрами следует ввести некоторые поправки. На первый взгляд может показаться, что нерелятивистское рассмотрение, проведенное в предыдущем параграфе, вообще теряет силу, и необходимо провести заново полностью релятивистское исследование. Однако одно из преимуществ специальной теории относительности (не говоря уже о том, что она верна и, следовательно, необходима) заключается в том, что она позволяет проводить расчет в удобной системе отсчета и лишь на заключительном этапе переходить к лабораторной системе координат. Поэтому, как мы сейчас увидим,

весь расчет тормозного излучения при релятивистском движении, кроме его заключительной части, может быть проведен нерелятивистскими методами.

Отметим два существенных обстоятельства. Прежде всего, как мы знаем, излучение ультрарелятивистской частицы сосредоточено в узком конусе с углом раствора порядка где Е — полная энергия. Поэтому, если нас не интересуют очень тонкие детали явления, достаточно рассмотреть лишь полную энергию, излучаемую на данной частоте.

Фиг. 15.4. Представление излучения, испускаемого релятивистской частицей при соударении: а — в лабораторной системе координат покоится); б — в собственной системе координат К (налетающая частица покоится).

Далее, обычно в процессе соударения (если исключить случаи очень близких соударений) налетающая частица испытывает лишь незначительное отклонение и теряет весьма малую долю своей энергии. В системе отсчета К, относительно которой налетающая частица первоначально покоится, а ядро движется со скоростью с, движение налетающей частицы в течение всего времени соударения остается нерелятивистским. Поэтому в системе К процесс излучения может быть описан чисто нерелятивистским образом. Связь между характеристиками излучения, наблюдаемого в лабораторной системе координат и в системе отсчета схематически представлена на фиг. 15.4.

Теперь мы можем почти полностью повторить все рассуждения, приведенные в § 1 и 2. Нужно лишь установить новые пределы изменения прицельных параметров. Из-за релятивистского сокращения полей (см. гл. 11, § 10) время соударения (11.120) уменьшается в у раз, где Поэтому значение максимального прицельного параметра будет равно

где — частота излучения в системе К. Минимальное значение прицельного параметра в этом случае не равно предполагаемому

значению хотя эта величина и определяет «размазывание» частицы, обусловленное квантовыми эффектами. Правильное значение Ьмин по-прежнему дается формулой (15.17), не содержащей множителя у, в чем легко убедиться из следующего рассуждения. При излучении все элементы распределения заряда должны испытывать одинаковое ускорение в один и тот же момент времени. В противном случае интерференционные эффекты в сильной степени ослабят излучение. Поэтому излучение может быть значительным лишь в том случае, когда протяженность ускоряющего импульса, обусловленного полем пролетающего ядра, велика по сравнению с размером «размазанного» заряда. Протяженность импульса имеет величину порядка тогда как поперечный размер области распределения заряда есть величина порядка . Отсюда следует, что и при релятивистском движении нижний предел возможных значений прицельного параметра определяется соотношением (15.17).

Используя выражения (15.11) и (15.12) и новые предельные значения прицельного параметра, получаем сечение излучения в системе К

Чтобы переписать полученный результат в лабораторной (нештрихованной) системе отсчета, необходимо знать трансформационные свойства сечения тормозного излучения и частоты. Размерность сечения излучения [площадь-энергия/частота]. Так как энергия и частота преобразуются при преобразовании Лоренца одинаковым образом, а поперечные размеры инвариантны, то сечение тормозного излучения лоренц-инвариантно

    (15.30)

Закон преобразования частоты определяется формулой релятивистского допплеровского смещения (11.38)

    (15.31)

где - угол, под которым излучение испускается в системе Сечение представляет собой полное сечение, полученное интегрированием по углам в системе Так как ускорение в этой системе преимущественно поперечное, распределение излучения приблизительно симметрично относительно направления Следовательно, в среднем Подставляя это значение со

в (15.29), получаем для сечения тормозного излучения в лабораторной системе соотношение

Эта формула отличается от нерелятивистской формулы (15.18) лишь множителем в аргументе логарифма. Из закона сохранения энергии следует, что полученное выражение применимо лишь в области частот Заметим, что кванты с энергией в лабораторной системе соответствуют квантам в системе К.

Приведенный выше вывод выражения в лабораторной системе координат несколько небрежен, так как не содержит строгого рассмотрения зависимости преобразованной частоты от угла. В действительности следовало бы рассмотреть дифференциальное сечение излучения в системе

где А — коэффициент при логарифме в формуле (15.32). Зависящее от угла выражение в квадратных скобках представляет собой сумму двух членов, соответствующих различным поляризациям [см. (15.9)], и нормировано так, чтобы интеграл по полному телесному углу был равен единице. Преобразуя (15.33) к лабораторной системе отсчета согласно (11.38), получаем

Угловое распределение имеет резкий максимум в направлении Для зависящий от угла множитель убывает как Выражение (15.34), разумеется, неприменимо для углов Однако определяемый им порядок величины верен: интенсивность излучения в обратном направлении в Раз меньше, чем в направлении вперед, и в пределе достигает значения

    (15.35)

Так как почти все излучение сосредоточено в области углов можно без большой ошибки приближенно представить элемент телесного угла в виде и провести интегрирование в интервале . В результате для полного сечения излучения получим

    (15.36)

что несущественно отличается от прежнего результата (15.32).