§ 3. Свойства полей мультиполей. Энергия и момент количества движения мультипольного излучения

Прежде чем устанавливать связь общего решения уравнений (16.47) с характеристиками ограниченного распределения источников, исследуем свойства полей отдельных мультипольных гармоник (16.42) и (16.44). В ближней зоне радиальная функция пропорциональна функции определяемой соотношением (16.12), если, конечно, коэффициент перед не обращается в нуль. Не рассматривая этого случая, мы заключаем, что при магнитное поле для электрического -мультиполя стремится к значению

    (16.48)

где коэффициент пропорциональности выбран из соображений удобства последующих вычислений. Для нахождения электрического поля нужно вычислить ротор от правой части в (16.48). При? ведем здесь полезное операторное тождество

    (16.49)

Согласно (16.42), напряженность электрического поля имеет предельное значение

    (16.50)

Так как функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то первое слагаемое в (16.49) равно нулю. Второй член в (16.49) эквивалентен в данном случае оператору . В результате получаем следующее выражение для напряженности электрического поля -мультиполя электрического типа на близких расстояниях:

    (16.51)

Это поле в точности совпадает с полученным в гл. 4, § 1, электро-статическим мультипольным полем. Заметим, что величина вектора магнитного поля меньше величины электрического поля в раз. Следовательно, в ближней зоне магнитное поле мультиполя электрического типа всегда гораздо меньше электрического поля. Для мультипольных полей магнитного типа [см. (16.44)], очевидно, векторы Е и В меняются ролями в соответствии с подстановкой

    (16.52)

В дальней, или волновой, зоне вид полей мультиполей зависит от наложенных граничных условий. Для определенности рассмотрим случай расходящихся волн, соответствующий излучению ограниченного источника. При этом радиальная функция пропорциональна сферической функции Ханкеля Из асимптотических выражений (16.13) следует, что в волновой зоне магнитное поле электрического -мультиполя принимает значение

    (16.53)

Электрическое поле можно представить в виде

    (16.54)

Так как мы уже воспользовались асимптотическими выражениями для сферических функций Ханкеля, было бы неоправданным удерживать степени выше первой. Учитывая это и используя тождество (16.49), получаем

    (16.55)

где — единичный вектор, направленный вдоль радиуса. Второй член, равный произведению некоторой безразмерной функции углов на очевидно, может быть опущен в предельном случае . В результате для вектора напряженности электрического поля в волновой зоне получаем

    (16.56)

где вектор дается соотношением (16.53). Эти выражения характерны для поля излучения, векторы которого нормальны радиусу и убывают с расстоянием по закону . Для установления соответствующих соотношений для магнитных мультиполей достаточно воспользоваться подстановкой (16.52).

Мультипольным разложением поля, создаваемого источником излучения, удобно пользоваться для вычисления энергии и момента количества движения, уносимых излучением. Для определенности рассмотрим -мультиполь электрического типа. Согласно (16.47), поля записываются в виде

    (16.57)

Для монохроматических полей среднее по времени значение плотности энергии равно

    (16.58)

В волновой зоне оба слагаемых равны между собой. Следовательно, в сферическом слое между заключена энергия

    (16.59)

Используя условие нормировки (16.46) и асимптотические выражения (16.13) для сферической функции Ханкеля, найдем

величина не зависит от радиуса. Случай -мультиполя магнитного типа отличается лишь заменой на

Среднее по времени значение плотности момента количества движения определяется выражением

Раскрывая тройное векторное произведение и подставляя выражение (16.57) для электрического поля, получаем для мультиполя электрического типа

    (16.62)

Для момента количества движения излучения в сферическом слое между получаем

    (16.63)

В волновой зоне (16.63) с учетом явных выражений (16.45) для приводится к виду

Используя соотношения (16.28) для составляющих и ортогональность сферических гармоник, можно убедиться, что отлична от нуля лишь составляющая в направлении , причем

Сравнивая этот результат с величиной энергии излучения (16.60), получаем, что отношение -составляющей момента количества движения к энергии равно

    (16.66)

Очевидная квантовая интерпретация этого соотношения состоит в том, что излучаемый -мультиполем фотон с энергией уносит единиц -составляющей момента количества движения. Продолжая квантовомеханическую аналогию, следует ожидать, что отношение абсолютного значения момента количества движения к энергии должно быть равно

Однако из соотношений (16.64) и (16.65) следует классический результат

    (16.68)

Это расхождение обусловлено квантовой природой электромагнитного поля отдельного фотона. Если -составляющая момента количества движения точно определена, то, согласно принципу неопределенности, точные значения остальных составляющих неизвестны, а среднеквадратичное значение момента количества движения выражается формулой (16.67). Если же поле излучения содержит большое число фотонов (классический предел), то среднеквадратичные значения поперечных составляющих момента количества движения могут быть сколь угодно малыми по сравнению со среднеквадратичным значением составляющей вдоль оси г. В этом случае справедлив классический результат (16.68).

В квантовомеханической интерпретации величины излученного момента количества движения, приходящейся на один фотон в мультипольных полях, используются правила отбора для мультипольных переходов между квантовыми состояниями. Мультипольный переход порядка связывает начальное квантовое состояние, характеризуемое полным моментом количества движения J и -составляющей момента М, с конечным квантовым состоянием, для которого J лежит в диапазоне Наоборот, для двух состояний возможны лишь такие мультипольные переходы порядка , при которых

Для завершения квантовомеханического описания мультипольного перехода остается установить, сохраняется или изменяется при переходе четность состояния. Четность начального состояния равна произведению четности конечного состояния на четность поля мультиполя. Для определения четности поля мультиполя достаточно рассмотреть поведение вектора магнитного поля при преобразовании инверсии относительно центра . Чтобы убедиться, что четность поля мультиполя определяется вектором напомним, что взаимодействие заряженной частицы и электромагнитного поля определяется скалярным произведением Вектор обладает четностью, противоположной четности вектора так как применение оператора ротора изменяет четность. Поэтому, поскольку v — нечетный полярный вектор, состояния, связанные оператором взаимодействия будут отличаться по четности на четность вектора магнитной индукции

Для мультиполей электрического типа магнитное поле дается выражением (16.57). Преобразование инверсии эквивалентно замене в сферических координатах. Оператор L инвариантен относительно преобразования инверсии. Следовательно, свойства четности для мультиполей электрического типа определяются поведением функции Согласно (3.53) и (3.50), четность равна Таким образом, четность мультипольных полей электрического типа порядка равна . В частности, четность вектора магнитного поля равна а четность электрического поля равна так как

Четность мультиполя магнитного типа порядка равна . В этом случае напряженность электрического поля выражается так же, как для электрических мультиполей. Следовательно, четности полей мультиполей в данном случае противоположны четностям соответствующих мультипольных полей электрического типа того же порядка.

Связав изменения четности с изменениями момента количества движения при квантовом переходе, мы видим, что могут осуществляться лишь определенные комбинации мультипольных переходов. Так, например, для состояний с разрешены мультипольные переходы порядка Если четность обоих состояний одинакова, то условие сохранения четности ограничивает возможности перехода, так что оказываются возможными лишь магнитные дипольиые переходы и электрические квадрупольные переходы. Для состояний с различной четностью могут иметь место электрические дипольные или магнитные квадрупольные переходы с излучением или поглощением.