§ 10. Макроскопические уравнения

Хотя в большей части главы уравнения электродинамики записаны в макроскопической форме, читатель помнит, что вывод макроскопических уравнений из микроскопических был проведен отдельно для электростатики и магнетостатики в гл. 4, § 3 и в гл. 5, § 8. В связи с этим возникает вопрос о применимости этих уравнений для переменных во времени полей. Применимость этих уравнений представляется интуитивно очевидной, поскольку добавление максвелловского тока смещения было сделано на макроскопическом уровне. Тем не менее полезно непосредственно получить макроскопические уравнения из микроскопических и, в частности, проследить, как изменение во времени поляризации Р порождает распределение токов и приводит к превращению микроскопического тока смещения в макроскопический ток смещения

Основное допущение, которое было принято в наших предыдущих рассмотрениях, заключается в том, что макроскопические поля Е и В, удовлетворяющие двум однородным уравнениям Максвелла

(6.28), являются средними значениями соответствующих микроскопических полей :

    (6.103)

Под средним значением теперь мы должны подразумевать результат усреднения как по пространству, так и по времени, например

    (6.104)

где объем АУ и интервал времени малы по сравнению с соответствующими макроскопическими величинами.

Из соотношений (6.103) следует, что макроскопические потенциалы Ф и А являются средними значениями соответствующих микроскопических величин

    (6.105)

поскольку поля Е и В (или ) получаются из них дифференцированием, согласно (6.29) и (6.31).

Чтобы выразить усредненные потенциалы через молекулярные характеристики, необходимо произвести точно такой же расчет, как в гл. 4, § 3, и гл. 5, § 8, за исключением двух моментов. Во-первых, в соответствии с проведенным в § 6 анализом решения волнового уравнения мы должны пользоваться «запаздывающими» потенциалами. Поэтому те же рассуждения, которые приводили к (4.33), приводят теперь к усредненному скалярному потенциалу

    (6.106)

К этому выражению надо прибавить запаздывающий потенциал, обусловленный избыточными свободными зарядами Второе изменение касается векторного потенциала. В стационарном случае обусловленный молекулами вклад в векторный потенциал был суммой членов типа потенциала магнитных диполей (5.75). Главные члены в разложениях были равны нулю в силу условия которое для переменных полей уже несправедливо. Если проследить рассуждения вплоть до соотношения (5.51), то можно убедиться, что главный член в выражении для равен

    (6.107)

Для простоты мы временно опускаем индексы, указывающие на запаздывание. С помощью тождества первый

член преобразуется к виду

    (6.108)

Используем далее уравнение непрерывности и определение молекулярного электрического дипольного момента (4.25). Тогда (6.108) дает

    (6-109)

В случае переменных полей главный член оказывается пропорциональным скорости изменения электрического дипольного момента Суммируя по всем молекулам и производя усреднение в соответствии с (6.104), получаем средний микроскопический векторный потенциал

Сюда следует добавить обычное выражение для потенциала макроскопического тока проводимости с плотностью

Решения (6.106) и (6.110) с добавлением потенциалов, создаваемых свободными зарядами и токами проводимости, можно записать в виде

Входящие сюда усредненные заряды и токи следующим образом зависят от макроскопических векторов поляризаций Р и намагниченности М, определенных соотношениями (4.36) и (5.77):

где q и J — макроскопические плотности заряда и тока.

Теперь, наконец, мы в состоянии непосредственно вывести макроскопические уравнения Максвелла из микроскопических. Однородные уравнения Максвелла вытекают непосредственно из

определений (6.103). Переходя к неоднородным уравнениям, рассмотрим микроскопическую форму закона Ампера

    (6.113)

Усредняя обе части равенства и используя выражение (6.112) для (J), мы получаем

Так как, согласно определению, то мы приходим к искомому соотношению

    (6.115)

Другое уравнение выводится аналогичным образом из (6.112).

В заключение анализа макроскопических уравнений поля рассмотрим различие между микроскопической и макроскопической формами теоремы Пойнтинга. В § 8 мы получили макроскопическую форму (6.81) закона сохранения энергии. Записанный явно через поля, он имеет вид

    (6.116)

Чтобы понять смысл входящих сюда сочетаний полей Е, D, В, Н, следует установить связь с микроскопической формой теоремы Пойнтинга. Это проще всего сделать, выразив левую часть (6.116) через основные поля Е и В. Легко видеть, что (6.116) примет при этом вид

    (6.117)

Из соотношений (6.112) следует, что соотношение (6.117) представляет собой аналог теоремы Пойнтинга для микроскопических полей, в котором каждая величина заменена на свое среднее значение. Оно не является простым результатом усреднения теоремы Пойнтинга для микроскопических полей, отличаясь рядом членов, которые выражают сохранение энергии флуктуирующих полей, представляющих собой мгновенные отклонения от Е и В. Если не рассматривать эти флуктуирующие поля, мы можем интерпретировать соотношение (6.117) следующим образом.

Будем относить заряды и токи, создаваемые электронами, движущимися внутри молекул, так же как и токи проводимости,

к внешним источникам. Тогда теорема Пойнтинга должна относиться к основным полям Е и В и содержать работу, совершаемую электрическим полем в единицу времени над всеми токами. Если трактовать работу, совершаемую над эффективным молекулярным током , как энергию, содержащуюся или распространяющуюся в среде, то мы можем перенести соответствующий член в левую часть (6.117) и включить его в члены для плотности энергии и потока энергии в среде. Таким образом, мы опять приходим к макроскопической форме теоремы Пойнтинга (6.116), где явно выделена только работа электрического поля над токами проводимости. Энергию, связанную с эффективным молекулярным током, естественно включать в энергию поля, так как она представляет собой характеристику среды и в действительности является запасенной энергией (т. е. реактивной мощностью), которая в среднем не испытывает диссипации (последнее не верно для магнитных сред при наличии гистерезисных эффектов). Напротив, мощность, связанная с токами проводимости, диссипирует: электрическая энергия превращается в механическую.