§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики

Начнем с рассмотрения поведения электрически нейтральной проводящей жидкости (газа) в электромагнитном поле. Предположим для простоты, магнитная проницаемость жидкости равна единице. Введем плотность вещества скорость давление (которое предполагается скалярным) и действительную проводимость о. Гидродинамическими уравнениями являются уравнение непрерывности

    (10.1)

и уравнение движения

Кроме градиента давления и электромагнитной силы, мы включили вязкость и гравитационную силу. Для несжимаемой жидкости сила, обусловленная вязкостью, имеет вид

где — коэффициент вязкости. Следует подчеркнуть, что производная по времени от скорости в левой части равенства (10.2) является материальной производной

определяющей полную скорость изменения величины, движущейся с мгновенной скоростью

В пренебрежении токами смещения электромагнитные поля в жидкости описываются уравнениями

Условие эквивалентное пренебрежению токами смещения, является следствием второго уравнения (10.5). В (10.5) опущены два уравнения для дивергенции полей. Из закона индукции Фарадея следует, что так что требование можно принять в качестве начального условия. Поскольку мы пренебрегли токами смещения, то можно также не принимать во внимание закон Кулона, так как электрическое поле полностью определяется уравнениями (10.5) и законом Ома (см. ниже). Учет токов смещения в законе Ампера и уравнения непрерывности приводит к поправкам порядка Для обычных магнитогидродинамических задач это пренебрежимо малая величина.

Для получения полной системы динамических уравнений необходимо установить связь между плотностью тока J и полями Е и В. Для обычной проводящей среды с проводимостью а справедлив закон Ома, и плотность тока описывается обычным соотношением

где J и Е измеряются в системе координат, покоящейся относительно среды. Если жидкость движется со скоростью v относительно лабораторной системы координат, то мы должны преобразовать плотность тока и электрическое поле к неподвижной системе координат. Преобразование поля определяется уравнением (6.10). Плотность тока в лабораторной системе, очевидно, равна

где — плотность заряда. Для однокомпонентной проводящей жидкости Следовательно, закон Ома принимает вид

Иногда эффективную проводимость жидкости можно считать бесконечно большой. Тогда под действием полей Е и В жидкость движется таким образом, что удовлетворяется соотношение

Уравнения (10.1), (10.2), (10.5) и (10.8), дополненные уравнением состояния жидкости, составляют полную систему уравнений магнитной гидродинамики. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые простые следствия из этих уравнений и введем основные понятия магнитной гидродинамики. Магнитная диффузия, вязкость и давление

Поведение жидкости в электромагнитном поле в значительной мере определяется ее проводимостью; это относится как к электромагнитным, так и к механическим характеристикам. Начнем с электромагнитных эффектов. Как мы увидим ниже, в зависимости от величины проводимости поля ведут себя совершенно различным образом. Производную по времени от магнитного поля после исключения Е с помощью (10.8) можно записать в виде

    (10,10)

Здесь принято, что а не зависит от координат. Для покоящейся жидкости (10.10) сводится к уравнению диффузии

Отсюда следует, что начальные значения магнитного поля затухают с характерным временем диффузии

    (10.12)

где L — характерный размер пространственного изменения В. Для медной сферы радиусом 1 см время имеет величину порядка 1 сек, для жидкого ядра Земли — порядка лет, а для магнитного поля Солнца — порядка лет.

Для времен, малых по сравнению со временем диффузии [т. е. в тех случаях, когда проводимость столь велика, что вторым членом в (10.10) можно пренебречь], зависимость магнитного поля от времени определяется уравнением

    (10.13)

Используя (6.5), можно показать, что это уравнение эквивалентно» утверждению о постоянстве во времени магнитного потока через произвольный контур, движущийся вместе с жидкостью. Таким образом, в этом случае силовые линии как бы «вморожены» в вещество и движутся вместе с ним. При бесконечной проводимости скорость w силовых линий магнитного поля (которая, по определению,

перпендикулярна В) равна, согласно (10.9),

    (10.14)

Этот так называемый электрический дрейф жидкости вместе с силовыми линиями можно объяснить, исходя из свойств траекторий отдельных частиц (электронов и ионов) в скрещенных электрическом и магнитном полях (см. гл. 12, § 8).

Полезной величиной, позволяющей различать состояния, в которых происходит диффузия силовых линий относительно вещества, и состояния, в которых силовые линии вморожены в вещество, является магнитное число Рейнольдса RM. Если V — характерная скорость задачи, характерная длина, то магнитное число Рейнольдса определяется как

    (10.15)

где — время диффузии (10.12). Увлечение силовых линий жидкостью преобладает над диффузией при Для таких жидкостей, как ртуть и натрий, в лабораторных условиях (за исключением случая очень больших скоростей) Однако в геофизических и астрофизических приложениях RM может быть очень большим по сравнению с единицей.

Механические свойства системы определяются уравнением движения (10.2). Подставляя в него выражение (10.8) для J, получаем

    (10.16)

где F — сумма всех неэлектромагнитных сил, составляющая скорости, перпендикулярная В. Из этого уравнения явно видно, что движение вдоль В происходит под действием только неэлектромагнитных сил. Скорость же движения жидкости, перпендикулярная В, со временем затухания порядка

    (10.17)

стремится к стационарной величине

В пределе бесконечной проводимости, как и следовало ожидать, этот результат сводится к (10.14). Член в (10.16), пропорциональный учитывает вязкость, или силу трения, тормозящую движение жидкости в направлении, перпендикулярном силовым линиям магнитного поля. Иногда ее называют магнитной вязкостью.

Если обычная вязкость, входящая в F, сравнима с магнитной вязкостью, то время затухания уменьшается на очевидный множитель, содержащий отношение обеих вязкостей.

Выше было показано, что при большой проводимости силовые линии магнитного поля вморожены в жидкость и движутся вместе с ней. Отклонения от этого состояния движения быстро исчезают. При обсуждении механических эффектов мы рассматривали электромагнитные величины как заданные, а при рассмотрении электромагнитных эффектов считали заданными механические величины. В действительности, конечно, уравнения движения и уравнения поля взаимосвязаны. В случае предельно большой проводимости плотность тока в уравнении движения удобно выразить с помощью закона Ампера через магнитное поле В, а из закона Фарадея с помощью (10.9) исключить Е, что приводит к (10.13). При этом магнитная сила в (10.2) записывается в виде

    (10.19)

С помощью векторного тождества

можно преобразовать равенство (10.19) к виду

    (10.21)

Это соотношение показывает, что магнитная сила эквивалентна гидростатическому магнитному давлению

плюс еще одно слагаемое, которое можно интерпретировать как натяжение вдоль силовых линий. Выражение (10.21) можно также получить из максвелловского тензора натяжений (см. гл. 6, § 9).

Если пренебречь влиянием вязкости и ввести потенциал гравитационных сил , то уравнение движения (10.2) примет вид

    (10.23)

В некоторых простейших случаях, например, когда поле В имеет только одну декартову составляющую, последний член, связанный с магнитным натяжением, обращается в нуль. В этом случае уравнение статики имеет интеграл

    (10.24)

Отсюда следует, что если не учитывать гравитационных эффектов, то любые изменения гидростатического давления должны быть сбалансированы изменениями магнитного давления. Если, например, жидкость должна быть локализована внутри некоторого объема, так что быстро спадает до нуля вне этого объема, то магнитное давление должно столь же быстро возрастать к периферии. На этом: основан пинч-эффект, рассмотренный в § 5.