§ 7. Принцип Бабине для дополнительных экранов

Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров дифракции, установим одно полезное соотношение, так называемый принцип Бабине. Принцип Бабинё связывает дифракционные поля для некоторого экрана с полями для дополнительного экрана.

Фиг. 9.7. Дифракционный экран и дополнительный к нему экран

Рассмотрим сначала этот принцип, ограничиваясь скалярным приближением Кирхгофа. Дифракционный экран предполагается расположенным на некоторой поверхности S, разделяющей пространство на области I и II так же, как и в § 5. Пусть экран занимает всю поверхность S, за исключением некоторых отверстий. Дополнительным экраном называется экран, получающийся из первоначального заменой отверстий на экран, а экрана на отверстия. Обозначим поверхность исходного экрана через а дополнительного — через тогда как схематически показано на фиг. 9.7.

Если внутри S (в области I) имеются источники поля то в отсутствие каких-либо экранов это поле в области II дается интегралом Кирхгофа (9.65), где интегрирование производится по всей поверхности S. Если же на поверхности S расположен экран то поле в области II в приближении Кирхгофа дается интегралом (9.65), в подынтегральном выражении которого стоит

то же поле но интеграл берется только по (по отверстиям). Аналогично для дополнительного экрана поле в том же приближении дается интегралом по Отсюда очевидно следующее соотношение между дифрагированными полями

Это и есть принцип Бабине, как его обычно формулируют в оптике. Если, например, представляет собой падающую плоскую волну, то, согласно принципу Бабине, дифракционная картина в направлениях, отличных от направления прямого падения, одинакова для взаимно дополнительных экранов.

Полученная формулировка принципа Бабине неудовлетворительна в двух отношениях: во-первых, она относится к скалярным полям и, во-вторых, основана на приближении Кирхгофа. Второй недостаток можно устранить, если мы обобщим определение дополнительности и при замене экрана на дополнительный экран введем и дополнительные граничные условия (т. е. условия Дирихле заменим на условия Неймана, и наоборот) для скалярных полей. Однако, поскольку нас в основном интересуют электромагнитные поля, мы не будем больше останавливаться на скалярной задаче.

Строгую формулировку принципа Бабине для электромагнитных волн можно получить для случая тонкого плоского идеально проводящего экрана и дополнительного к нему экрана. Пусть поля падают на экран с металлической поверхностью (см. фиг. 9.7), расположенный в свободном пространстве. Вследствие наличия экрана образуются проходящие и отраженные волны, как показано на фиг. 9.4. В дальнейшем в тех случаях, когда нам не потребуется более детального разделения, мы будем объединять проходящие и отраженные волны под общим названием рассеянных волн . В случае идеально проводящего экрана поверхностный ток К, индуцируемый падающей волной, должен быть таким, чтобы во всех точках поверхности экрана выполнялось равенство Для тонкой плоской поверхности из симметрии задачи следует, что тангенциальные составляющие рассеянных магнитных полей на поверхности должны быть равны и противоположно направлены. Согласно (5.90), имеем

где нормаль направлена в сторону области . С помощью тех же рассуждений, что и при выводе (9.80) из (9.79), можно показать,

что для любой точки в области II и ее зеркального изображения в области рассеянные поля удовлетворяют следующим условиям симметрии:

Заметим, что эти соотношения отличаются от (9.80) заменой знаков на обратные. Как показано в книге Смайта [100], поля (9.80) соответствуют двойному токовому слою, тогда как поля (9.85) обладают симметрией, характерной для простого плоского токового слоя, излучающего в обоих направлениях.

Мы можем написать выражение для рассеянного магнитного поля в виде интеграла по поверхностным токам К. Поскольку В есть ротор векторного потенциала, то

где G — функция Грина (9.66), а интегрирование производится по металлической поверхности экрана Подставляя К из (9.84), мы можем записать магнитное поле в области II в виде

Этот результат аналогичен (9.82) с той разницей, что

1) поля Е и В поменялись местами;

2) здесь интегрирование производится только по поверхности экрана, тогда как в (9.82) — только по площади отверстий;

3) в выражение (9.82) входит полное электрическое поле, тогда как в (9.87) входит только рассеянное поле.

Сопоставление (9.87) с (9.82) позволяет сформулировать принцип Бабине. Запишем соотношение (9.82) для экрана, дополнительного к рассматриваемому экрану с металлической поверхностью

Здесь интеграл берется только по поверхности поскольку она соответствует отверстиям в дополнительном экране. В области II поле Е представляется суммой

где падающее электрическое поле в дополнительной дифракционной задаче, соответствующее проходящее, или дифрагированное, поле. Очевидно, выражения (9.87) и (9.88) переходят одно в другое при замене

Легко показать, что справедливо также соотношение

Отличие в знаках объясняется тем, что в обоих случаях поля должны представлять собой уходящие волны. Поскольку мы могли принять в качестве исходного дополнительный экран, то соотношения (9.90) и (9.91) должны быть справедливы и при замене штрихованных величин на нештрихованные и наоборот. Сравнение получающейся системы равенств с первоначальной показывает, что падающие поля в исходной и дополнительной дифракционных задачах должны быть связаны соотношениями

Дополнительная задача соответствует не только дополнительному экрану, но также и дополнительным падающим полям, в которых Е и В меняются местами.

Таким образом, принцип Бабине формулируется следующим образом: пусть дифракционная система состоит из источников, создающих поля падающие на тонкий плоский идеально проводящий экран с отверстиями. Дополнительная к ней дифракционная система состоит из источников, дающих поля падающие на дополнительный экран. Если проходящие (дифрагированные) поля за экраном (со стороны, противоположной источникам) равны Е, В для основной системы и для дополнительной, то имеют место следующие соотношения:

Эти соотношения являются векторным аналогом скалярного принципа Бабине (9.83). Для плоской волны, падающей на дифракционный экран, из принципа Бабине следует, что в направлениях, отличных от направления падения, интенсивности дифракционного поля для экрана и его дополнения одинаковы, а сами поля связаны соотношениями

Поляризация падающей волны для дополнительного экрана должна быть, конечно, изменена согласно (9.92).

Строгая векторная формулировка принципа Бабине очень полезна для микроволновых задач. Рассмотрим, например, узкую щель, прорезанную в бесконечной плоской проводящей пластине, на которую падает волна с магнитным полем, направленным вдоль щели, и с электрическим полем, перпендикулярным щели, как показано на фиг. 9.8.

Фиг. 9.8. Эквивалентные излучающие системы в соответствии с принципом Бабине.

Диаграмма излучения этой щели будет такая же, как и для тонкой линейной антенны, электрическое поле в которой направлено вдоль антенны (см. § 2 и 4). Поляризация излучения в этих двух системах будет различной: электрическому вектору в одной системе будет соответствовать магнитный вектор в другой. Таким путем можно рассчитать антенную решетку типа волновода со щелями на его боковых сторонах