§ 10. Формальное решение граничных задач электростатики с помощью функции Грина

Решение уравнений Пуассона или Лапласа в конечном объеме У, если на ограничивающей поверхности S заданы граничные условия Дирихле или Неймана, можно получить с помощью теоремы Грина (1.35) и так называемых функций Грина.

При выводе соотношения (1.36) (которое не является решением граничной задачи) мы полагали функцию равной , т. е. равной потенциалу единичного точечного заряда, удовлетворяющему уравнению

Функция — лишь одна из множества функций, зависящих от и удовлетворяющих (1.31) (так называемых функций Грина). В общем случае

где

Здесь F удовлетворяет уравнению Лапласа

внутри объема V.

При отыскании решения уравнения Пуассона, принимающего заданное значение Ф или на границе, мы можем исходить из уравнения (1.36). Как мы уже указывали, это соотношение не является решением, удовлетворяющим корректным граничным условиям, поскольку в поверхностный интеграл входят и . В лучшем случае это всего лишь интегральное уравнение для Ф. Однако, если исходить из общего понятия функции Грина и воспользоваться свободой в определении этой функции [поскольку функция не определена однозначно], можно в теореме Грина принять функцию равной и выбрать так, чтобы один из двух поверхностных интегралов в формуле Грина обращался в нуль. Тогда формула Грина будет содержать лишь граничные условия Дирихле и Неймана. Конечно, если бы вид необходимой функции очень сложно зависел от граничных условий, то этот метод нельзя было бы считать общим. Однако мы сейчас покажем, что это не так: удовлетворяет довольно простым граничным условиям на

Исходя из теоремы Грина (1.35), полагая и учитывая соотношение (1.39) для функции Грина, мы придем к соотношению

являющемуся обобщением (1.36). Пользуясь свободой в определении функции Грина, мы можем оставить в поверхностном интеграле лишь желательные граничные значения. Так, при задании граничных условий Дирихле мы потребуем, чтобы выполнялось условие

Тогда первый член в поверхностном интеграле в (1.42) обратится в нуль и мы получим решение

Если заданы граничные условия Неймана, то мы должны быть более осторожны. На первый взгляд может показаться, что условие, налагаемое на функцию Грина должно иметь вид

поскольку при этом второй член в поверхностном интеграле в (1.42) обращается в нуль. Однако, применяя теорему Гаусса к (1.39), можно убедиться, что

Поэтому простейшее допустимое граничное условие для имеет вид

где S — полная площадь граничной поверхности. Тогда решение запишется следующим образом:

где — среднее значение потенциала на поверхности

Обычно задача Неймана представляет собой так называемую «внешнюю задачу», когда объем V ограничен двумя поверхностями, одна из которых замкнута и конечна, а вторая находится в бесконечности. В этом случае площадь поверхности S бесконечна, граничное условие (1.45) становится однородным и среднее значение обращается в нуль.

Заметим, что функции Грина удовлетворяют простым граничным условиям (1.43) или (1.45), не зависящим от граничных условий Дирихле (или Неймана). Тем не менее отыскание функции представляет собой подчас весьма сложную, а иногда и невыполнимую задачу из-за зависимости этой функции от формы поверхности S. С задачами подобного рода мы встретимся в гл. 2 и 3.

Функции Грина, удовлетворяющие граничным условиям (1.43) или (1.45), обладают свойством симметрии это можно доказать, пользуясь теоремой Грина и полагая где у — переменная интегрирования. Поскольку функция Грина, если рассматривать ее как функцию одной из переменных, описывает потенциал единичного точечного заряда, свойство симметрии отражает физический факт возможности перестановки источника и точки наблюдения. Из соотношения (1.40) для следует, что также является симметричной функцией аргументов.

В заключение сделаем важное замечание относительно физического смысла функции Эта функция представляет собой решение уравнения Лапласа внутри области V и, следовательно, описывает потенциал системы зарядов, расположенных вне объема V. Функцию можно представлять себе как потенциал

такого внешнего распределения зарядов, которое в сочетании с точечным единичным зарядом, находящимся в точке удовлетворяет на поверхности S однородному граничному условию равенства нулю потенциала (или его нормальной производной). Поскольку потенциал в точке на поверхности S, создаваемый точечным зарядом, зависит от положения этого заряда, потенциал внешнего распределения зарядов также должен зависеть от «параметра» х. С этой точки зрения метод изображений, который мы будем рассматривать ниже, в гл. 2, физически эквивалентен некоторому способу определения соответствующей функции удовлетворяющей граничным условиям (1.43) или (1.45). Для граничных условий Дирихле на поверхности проводников функцию можно также интерпретировать как потенциал, создаваемый поверхностным распределением зарядов, индуцируемым на проводниках единичным зарядом, находящимся в точке