§ 8. Диэлектрические волноводы

В § 2—5 мы рассматривали волноводы, представляющие собой полые металлические трубы с полем внутри. Возможны и другие волноводные системы. Простейшим примером может служить двухпроводная линия (передачи. Отличительной чертой электромагнитных волноводов является то, что энергия в них может распространяться только вдоль волновода, а не в перпендикулярном направлении. Это означает, что поля локализованы в основном лишь в непосредственной окрестности волноводной системы. Для полых волноводов это требование удовлетворяется тривиальным образом. Но для открытых систем, таких, как двухпроводная линия, поля простираются на некоторое расстояние в сторону от проводников, спадая как для ТЕМ-волны и экспоненциально для волн высших типов.

Диэлектрический цилиндр типа показанного на фиг. 8.9 также может служить волноводом, причем при достаточно большой диэлектрической проницаемости он по свойствам весьма близок к полому металлическому волноводу. Имеются, однако, характерные особенности, связанные с существенным различием граничных условий. Общие выводы § 2 здесь также справедливы, но поведение полей в поперечном направлении описывается теперь двумя уравнениями типа (8.19): одно для области внутри цилиндра, а другое

для внешней области. Эти уравнения имеют вид

    (8.98)

причем (8.98) соответствует внутренней, а (8.99) - внешней области. Как диэлектрик так и окружающее пространство предполагаются здесь однородными и изотропными.

Фиг. 8.9. Отрезок диэлектрического волновода.

Чтобы граничные условия удовлетворялись во всех точках поверхности цилиндра в произвольный момент времени, постоянная распространения (волновое число) k должна быть одинаковой внутри и вне цилиндра.

Как обычно, внутри диэлектрического цилиндра двумерный оператор Лапласа V? должен быть отрицательным, так что постоянная

положительна. Вне цилиндра условие отсутствия поперечного потока энергии приводит к требованию экспоненциального убывания полей. (В диэлектрическом волноводе не существует ТЕМ-волны.) Соответственно величина в круглых скобках в (8.99) должна быть отрицательной. Введем обозначение

    (8.101)

и будем требовать далее, чтобы волноводному решению соответствовало положительное значение (действительное.

На границе диэлектрического цилиндра следует сшить осциллирующие решения внутри цилиндра с экспоненциальными решениями вне него. Граничными условиями являются непрерывность нормальных составляющих В и D и тангенциальных составляющих Е и Н (а не обращение в нуль нормальной составляющей В и тангенциальной Е, как это было в случае полых металлических волноводов). Из-за более сложных граничных условий поля не могут быть разделены на ТЕ- и ТМ-волны, за исключением частных случаев, как, например, аксиально-симметричные волны в круглом цилиндре, которые и будут рассмотрены ниже. В общем же случае существуют продольные составляющие как Е, так и В. Такие волны иногда обозначаются как -волны.

Для иллюстрации некоторых свойств диэлектрического волновода рассмотрим круглый цилиндр радиусом а из немагнитного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью расположенный во внешней немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью Будем считать для простоты, что поля не зависят от азимутального угла. При этом радиальные уравнения для являются уравнениями Бесселя:

Решения, удовлетворяющие требованиям конечности в нуле и на бесконечности, согласно гл. 3, § 6, имеют вид

При известных остальные составляющие Е и В можно определить с помощью (8.24). При отсутствии зависимости от азимутального угла соотношения (8.24) внутри цилиндра принимают вид

Аналогичные соотношения имеют место для Тот факт, что поля разбиваются на две группы зависят от зависят от дает возможность получить решения ТМ-типов, как и в металлическом волноводе. Для ТЕ-типов

выражения для составляющих поля имеют вид

    (8.105)

и

    (8.106)

Эти поля должны удовлетворять известным граничным условиям при которые приводят к соотношениям

Исключая константу А, получаем уравнения для определения у, Р, а следовательно, и

Последнее равенство вытекает из (8.100) и (8.101). Поведение обоих слагаемых первого соотношения (8.108) изображено на фиг. 8.10, а. На обе кривые изображены в функции в соответствии со вторым соотношением (8.108). На графике изображен случай достаточно большой частоты, при которой существуют два типа волн, обозначенных кружками на пересечении кривых. Вертикальные асимптоты дают корни . Если максимальная величина меньше первого корня , то при действительном Р кривые не пересекаются. Таким образом, нижняя «граничная» частота для -волн равна

    (8.109)

При этой частоте но продольное волновое число k еще остается действительным и равно волновому числу в свободном пространстве. Для частот ниже «граничной» частоты система перестает быть волноеодсм и становится антенной, излучающей

энергию в радиальном направлении. Для частот, существенно больших граничной, и k имеют один порядок величины, и если разница между не очень мала, то и k много больше у.

Для ТМ-волн первое соотношение (8.108) заменяется соотношением

Очевидно, все качественные характеристики, которые видны на фиг. 8.10, сохраняются и для ТМ-волн.

Фиг. 8.10. К графическому определению продольной постоянной распространения для диэлектрического волновода.

Ясно также, что низшаяграничная частота для -волн та же самая, что и для -волн. При постоянная распространения, согласно (8.110), приближенно определяется уравнением если только максимальная величина не лежит слишком близко к одному из корней уравнения . Таким же уравнением определяется и постоянная распространения для ТЕ-волн в металлическом волноводе. Причиной эквивалентности ТМ-волн в диэлектрическом волноводе и ТЕ-волн в полом металлическом волноводе является симметрия уравнений Максвелла относительно перестановки Е и В (с необходимым изменением знака и введением множителей ) и соответствие между граничными условиями обращения в нуль нормальной составляющей В на металлической поверхности и почти нулевой нормальной составляющей Е на поверхности диэлектрика (вследствие непрерывности нормальной слагающей D при ).

Если то из (8.100) и (8.101) следует, что внешняя постоянная затухания много больше у (за исключением окрестности граничной частоты). Это означает, что поля быстро убывают

при удалении от цилиндра. На фиг. 8.11 качественно показано поведение полей для -волны. Другие типы волн ведут себя аналогично. отмечалось ранее, у типов волн с азимутальной зависимостью полей продольные составляющие как Е, так и В отличны от нуля. Хотя их математический анализ и более сложен (см. задачу 8.6), однако качественно характер распространения — малая длина волны вдоль цилиндра, быстрое убывание полей вне цилиндра и т. д. остается тем же самым, что и в случае аксиально-симметричных волн.

Фиг. 8.11. Радиальная зависимость полей -волны в диэлектрическом волноводе. При поля в основном сосредоточены внутри диэлектрика. Пунктиром изображена граница диэлектрика.

До сих пор диэлектрические волноводы не использовались для передачи микроволн, кроме некоторых специальных приложений. Одной из причин этого является трудность получения подходящего диэлектрика, имеющего достаточно малые потери в микроволновом диапазоне частот. Недавно для оптических частот начали применять очень тонкие диэлектрические волокна, покрытые тонким слоем из материала с существенно меньшим показателем преломления. Плотно перевитый пучок таких волокон служит для передачи оптических изображений [21]. Диаметр волокон достаточно мал чтобы к ним были применимы понятия волновода, хотя по ним обычно распространяется смесь различных типов волн.