Глава 12. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ

При изложении специальной теории относительности в гл. 11 основное внимание уделялось электромагнитным полям и ковариантности уравнений электродинамики. Только в § 11 было частично затронуто механическое движение источников заряда и тока. Действительно, поскольку специальная теория относительности в первую очередь позволила объяснить особенности явления распространения света, то естественно, что при изложении основ этой теории мы больше всего говорили об электромагнитных полях. Кроме того, в большом классе задач нет необходимости в подробном рассмотрении механического движения источников заряда и тока. Однако проблемы, в которых поля играют большую роль, чем источники, охватывают лишь часть электродинамических явлений. Существуют обратные задачи, в которых нас интересует поведение заряженных частиц под действием приложенных электромагнитных полей. Конечно, движущиеся частицы в свою очередь создают заряды и токи, которые являются источниками новых полей. Но во многих приложениях этими полями можно пренебречь либо же учесть их приближенно. В настоящей главе мы рассмотрим движение релятивистских частиц, сначала их кинематику, а затем динамику в заданных внешних полях. Обсуждение сложной задачи взаимодействия заряженных частиц с порождаемыми ими полями мы отложим до гл. 17.

§ 1. Импульс и энергия частицы

В нерелятивистской механике частица с массой и скоростью v имеет импульс и кинетическую энергию Уравнения движения Ньютона связывают скорость изменения импульса с приложенной силой. Для заряженной частицы такой силой является сила Лоренца. Поскольку в § 11 предыдущей главы

мы уже рассмотрели трансформационные свойства плотности силы Лоренца, мы можем теперь сразу найти поведение импульса заряженной частицы при преобразованиях Лоренца. Таким образом, конечно, нельзя найти релятивистские трансформационные свойства для нейтральных частиц, электромагнитное взаимодействие между которыми пренебрежимо мало, однако имеется достаточно экспериментальных доказательств того, что кинематическое поведение заряженных и нейтральных частиц одинаково.

Заряженную частицу можно рассматривать как локализованное в малом объеме распределение заряда и массы. Для определения силы, действующей на такую частицу, мы должны проинтегрировать плотность силы Лоренца [см. (11.129)] по объему частицы. Если полный заряд равен , а скорость частицы v, то пространственный интеграл от (11.129) равен

    (12.1)

где следует понимать как среднее поле, действующее на частицу. Аналогично § 11 предыдущей главы мы можем приравнять (12.1) скорости изменения импульса и энергии частицы

здесь представляет собой составляющую импульса частицы, а величина пропорциональна энергии частицы. Из (12.2) вытекает, что является -вектором. Действительно, если проинтегрировать по времени обе части равенства, то в левой части будет стоять то время как правая часть равна четырехмерному интегралу от . Поскольку является лоренц-инвариантом, то величина должна иметь такие же трансформационные свойства, как Следовательно, импульс и энергия Е частицы образуют -вектор

Преобразование импульса и энергии при переходе из одной лоренцовской системы отсчета К в другую систему К, движущуюся со скоростью v параллельно оси z, имеет вид

где Обратное преобразование получается заменой и перестановкой штрихованных и нештрихованных переменных.

Длина 4-вектора является лоренц-инвариантной величиной, характеризующей частицу:

В системе, где частица покоится скалярное произведение (12.5) выражается через энергию покоящейся частицы

Для определения X рассмотрим преобразование Лоренца (12.4) величин из системы, где частица покоится, в систему в которой она движется в -направлении со скоростью v. Импульс и энергия описываются очевидными выражениями

Из нерелятивистского выражения для импульса находим инвариантную постоянную . В нерелятивистском приближении

Это выражение показывает, что Е является полной энергией частицы, которая состоит из двух частей: энергии покоя и кинетической энергии. Для релятивистской частицы кинетическая энергия Т определяется как разность между полной энергией и энергией покоя:

Итак, свободная частица с массой движущаяся со скоростью v в системе отсчета имеет в этой системе импульс и энергию, соответственно равные

    (12.10)

Отсюда видно, что энергия Е может быть выражена через импульс соотношением

    (12.11)

Скорость движения частицы выражается через импульс и энергию соотношением

В кинематике релятивистских частиц очень удобно пользоваться специальной, очень простой и согласованной системой единиц для импульса частицы и ее энергии. В приведенных выше формулах часто встречается скорость света. Чтобы упростить формулы и изгнать из них различные степени с, введем соглашение о том, что импульс, энергия и масса будут измеряться в энергетических единицах, а для скорости за единицу примем скорость света. При этом все степени с исчезают. Таким образом, в дальнейшем будут использованы обозначения

В качестве энергетических единиц обычно употребляются (электрон-вольт), Один электрон-вольт — это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона, при прохождении разности потенциалов в 1 в