§ 7. Граничные задачи в цилиндрических координатах
Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид: 
, где каждый множитель определен в предыдущем параграфе. Перейдем теперь к конкретной граничной задаче.
Фиг. 3.7.
Пусть рассматриваемая область имеет вид цилиндра радиусом а и высотой L (фиг. 3.7); нижняя и верхняя поверхности цилиндра задаются уравнениями 
. Пусть потенциал на боковой и нижней поверхностях цилиндра равен нулю, а на верхней поверхности 
. Нас интересует потенциал в произвольной точке внутри цилиндра. Из условия однозначности потенциала Ф и его обращения в нуль при 
следует, что
где 
— целое, 
постоянная, подлежащая определению.
Радиальный множитель имеет вид
(3.106)
Чтобы потенциал был конечным при 
коэффициент D должен быть равен нулю. Из условия обращения потенциала в нуль при 
следует, что k может принимать лишь значения
(3.107)
где 
— корни уравнения 
Учитывая все эти ограничения, мы получаем общее решение в виде
(3.108)
При 
оно должно принимать заданное значение 
так что
Мы получили ряд Фурье по 
и ряд Фурье — Бесселя по q. Согласно (2.43) и (3.97), коэффициенты ряда равны
(3.109)
с той оговоркой, что для 
в ряд входит 
Частный вид разложения (3.108) определяется тем условием, что потенциал обращается в нуль при 
для всех q и при 
для всех z. При других граничных условиях форма ряда будет иной. В задаче 3.6 рассмотрен пример, когда потенциал равен нулю на торцовых поверхностях и принимает заданное значение 
на боковой поверхности.
Ряды Фурье — Бесселя типа (3.108) пригодны при рассмотрении конечных интервалов изменения 
Если же 
то ряд переходит в интеграл подобно тому, как тригонометрический ряд Фурье переходит в интеграл Фурье. Так, например, если потенциал в области, свободной от зарядов, конечен при 
и стремится
к нулю при 
то общее решение для 
имеет вид
Если потенциал должен быть равен 
на всей плоскости 
то коэффициенты определяются из соотношения
Зависимость от 
по-прежнему описывается рядом Фурье. Следовательно, коэффициенты 
определяются интегральными соотношениями
Эти радиальные интегральные уравнения первого рода легко решаются, поскольку они представляют собой преобразования Ханкеля. Для обращения уравнений (3.111) удобно использовать интегральное соотношение
(3.112)
Умножая обе части равенства (3.111) на 
интегрируя по q и учитывая (3.112), мы получаем интегральные выражения для коэффициентов на всей плоскости 
Как обычно, для 
в ряд (3.110) следует подставить 
