§ 6. Релятивистские поправки первого порядка для лагранжиана взаимодействующих заряженных частиц
Выше мы рассмотрели общий лагранжев формализм для релятивистской частицы во внешних электромагнитных полях, описываемых векторным и скалярным потенциалами 
. Соответствующий лагранжиан взаимодействия дается выражением (12.74). Если мы рассмотрим теперь проблему описания с помощью лангражиана взаимодействия двух или более заряженных частиц друг с другом, то убедимся, что это можно сделать только в случае нерелятивистских скоростей. Лагранжиан должен быть функцией мгновенных скоростей и координат всех частиц. Однако при учете конечности скорости распространения электромагнитных волн такого лагранжиана не существует, поскольку величина потенциала, создаваемого
в точке нахождения какой-либо частицы всеми другими частицами, зависит от состояния движения других частиц в предшествующие моменты времени (отстоящие от данного момента на время запаздывания). Поэтому лагранжево описание системы отдельных частиц возможно только в том случае, когда эффекты запаздывания пренебрежимо малы. В связи с этим можно было бы ожидать, что лагранжиан можно ввести только в статическом предельном случае, т. е. в нулевом порядке по 
Мы, однако, покажем далее, что можно учесть релятивистские поправки первого приближения и получить приближенный лагранжиан взаимодействующих частиц с точностью до членов порядка 
включительно.
Достаточно рассмотреть две взаимодействующие частицы с зарядами q 1 и 
массами и 
и координатами 
Расстояние между ними равно 
. В статическом пределе лагранжиан взаимодействия равен взятой со знаком минус электростатической потенциальной энергии
С точки зрения первой частицы это выражение равно взятому с обратным знаком произведению заряда частицы 
на скалярный потенциал 
создаваемый второй частицей в месте нахождения первой частицы, т. е. имеет ту же структуру, что и (12.73). Чтобы обобщить этот статический результат, мы должны в соответствии с (12.74) определить приближенно как 
так и 
. В общем случае имеют место релятивистские поправки и 
Но при кулоновской калибровке скалярный потенциал, определяемый мгновенными кулоновскими потенциалами, справедлив в любом порядке по 
Таким образом, если придерживаться кулоновской калибровки потенциалов, то скалярный потенциал уже известен, и остается найти только векторный потенциал 
Если ограничиваться релятивистскими поправками лишь в первом неисчезающем приближении, то можно при определении 
пренебречь влиянием запаздывания. Это объясняется тем, что векторный потенциал входит в лагранжиан (12.74) в комбинации 
Поскольку сам векторный потенциал 
есть величина порядка 
то дальнейшего уточнения величины 
не требуется. Таким образом, мы можем воспользоваться магнитостатическим выражением
где 
— поперечная часть тока, создаваемого второй частицей (см. гл. 6, § 5). Из соотношений (6.46) — (6.50) легко найти выражение
для этого тока
(12-86)
При подстановке этого выражения в (12.85) первый член сразу интегрируется, и мы получаем
Вводя переменную 
и интегрируя по частям, запишем последнее выражение в виде
Последний интеграл вычисляется непосредственно:
Вычисляя градиент во втором члене, получаем окончательный результат
(12.90)
Найденное выражение (12.90) для векторного потенциала поля второй частицы в точке нахождения первой частицы позволяет написать лагранжиан взаимодействия двух заряженных частиц, учитывающий в первом неисчезающем приближении релятивистские эффекты:
(12.91)
Этот лагранжиан впервые получен Дарвином в 1920 г. Он играет важную роль при квантовомеханическом рассмотрении релятивистских возмущений в двухэлектронных атомах. В квантовомеханических задачах векторы скорости заменяются соответствующими квантовомеханическими операторами (операторы а Дирака), и рассмотренное здесь взаимодействие носит название взаимодействия Брейта (1930 г.).
