§ 5. Калибровочные преобразования. Лоренцовская калибровка. Кулоновская калибровка

Преобразования (6.34) и (6.35) называются калибровочными преобразованиями, а инвариантность полей относительно этих преобразований называется калибровочной инвариантностью. Соотношение (6.36) между называется условием Лоренца. Покажем, что всегда можно выбрать потенциалы так, чтобы они удовлетворяли условию Лоренца. Для этого предположим, что потенциалы А, Ф, удовлетворяющие уравнениям (6.32) и (6.33), не удовлетворяют уравнению (6.36). Произведем калибровочное преобразование потенциалов и потребуем, чтобы А и удовлетворяли условию Лоренца

Очевидно, если калибровочная функция Л выбрана таким образом, что она удовлетворяет уравнению

то новые потенциалы будут удовлетворять условию Лоренца и волновым уравнениям (6.37) и (6.38).

Потенциалы, удовлетворяющие условию Лоренца (6.36), все еще содержат некоторую неопределенность. Очевидно, группа ограниченных калибровочных преобразований

с функцией , удовлетворяющей уравнению

сохраняет условие Лоренца, если первоначально А и удовлетворяли этому условию. Все потенциалы этого ограниченного класса потенциалов называют принадлежащими к лоренцовской калибровке. Лоренцовская калибровка является наиболее употребительной, поскольку, во-первых, при ее использовании Ф и А входят эквивалентным образом в волновые уравнения (6.37) и (6.38) и, во-вторых, потому, что она не зависит от выбора координатной системы и поэтому очень удобна в специальной теории относительности (см. гл. 11, § 9).

Другой полезной калибровкой потенциалов является так называемая кулоновская, или поперечная, калибровка. При этой калибровке

налагается дополнительное условие

Из (6.32) следует, что скалярный потенциал удовлетворяет при этом уравнению Пуассона

решение которого имеет вид

Скалярный потенциал (6.45) является мгновенным кулоновским потенциалом, соответствующим плотности заряда чем и объясняется название «кулоновская калибровка».

Векторный потенциал удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

Слагаемое в правой части, содержащее скалярный потенциал, может быть в принципе вычислено согласно (6.45). Используя уравнение непрерывности, мы можем написать

Если представить ток в виде суммы «продольной» и «поперечной» составляющих

таких, что то эти составляющие запишутся следующим образом:

что можно проверить, воспользовавшись векторным тождеством и соотношением . Из сравнения (6.47) с (6.49) следует, что

Таким образом, источником в волновом уравнении для А служит поперечный ток (6.50)

чем и определяется название «поперечная калибровка».

Кулоновская (поперечная) калибровка часто используется для описания полей в отсутствие источников. В этом случае удовлетворяет однородному волновому уравнению, а поля определяются через А соотношениями