§ 7. Функция Грина для сферы. Общее выражение для потенциала

Выше задача о точечном заряде вблизи проводящей сферы была рассмотрена методом изображений. Как указывалось в гл. 1, § 10, потенциал единичного заряда и его изображения (или изображений), удовлетворяющий соответствующим однородным граничным условиям, как раз является функцией Грина [см. (1.43) или (1.45)] для граничных условий Дирихле или Неймана.

Фиг. 2.11.

В функции переменная определяет точку Р, в которой находится единичный заряд, а переменная — точку Р, для которой вычисляется потенциал (фиг. 2.11). Для граничных условий Дирихле на сфере радиусом а потенциал единичного заряда и его изображения дается соотношениями (2.1) и (2.4), в которых следует положить

Изменив соответственно обозначения, получим функцию Грина в виде

или в сферических координатах

здесь у — угол между Из формы соотношения (2.23) непосредственно видно, что функция Грина симметрична по отношению к переменным хихи равна нулю в случае, если или находится на поверхности сферы.

Чтобы записать решение (1.44) уравнения Пуассона, нужно знать не только G, но и значение на сфере. Учитывая, что означает внешнюю нормаль по отношению к интересующему нас объему, т. е. нормаль, направленную к центру сферы, найдем

Заметим, что фактически представляет собой распределение плотности заряда (2.5). Отсюда следует, что решение уравнения Лапласа вне сферы при заданном потенциале на сфере дается, согласно (1.44), выражением

где элемент телесного угла в точке Для внутренней задачи вектор нормали направлен наружу, так что знак обратен (2.24). Это эквивалентно замене множителя на в (2.25). Если, кроме того, задано некоторое распределение объемного заряда, то к (2.25) следует прибавить соответствующий интеграл, согласно (1.44), с функцией Грина (2.23).