§ 9. Высокочастотные плазменные колебания

Магнитогидродинамическое приближение, рассмотренное в предыдущих параграфах, основано на представлении о взаимодействии между однокомпонентной электрически нейтральной жидкостью со скалярной проводимостью а и электромагнитным полем. Однако, как указывалось во введении к настоящей главе, плазма является в действительности многокомпонентной жидкостью, состоящей из электронов и одного или нескольких сортов ионов. При низких частотах или больших длинах волн описание с помощью одножидкостной модели применимо, поскольку частота столкновений v достаточно велика (средний свободный пробег достаточно мал), чтобы все время сохранялась локальная электронейтральность, несмотря на среднее движение электронов и ионов в противоположных направлениях под действием электрического поля, согласно закону Ома. При более высоких частотах одножидкостная модель становится уже непригодной. Электроны и ионы начинают двигаться независимо, и происходит разделение зарядов. Это разделение зарядов ведет к появлению больших возвращающих сил, и, следовательно, возникают колебания электростатического типа. При наличии магнитного поля появляются и другие эффекты. Электроны и ионы стремятся двигаться в магнитном поле по круговым или винтовым орбитам с угловой частотой

При достаточно сильных полях или достаточно низких плотностях, когда угловая частота сравнима с частотой столкновений, представление о скалярной проводимости становится уже неприменимым, и величина тока начинает зависеть от его направления относительно магнитного поля (см. задачу 10.5). При еще больших частотах ионы, обладающие большой инерцией, не в состоянии следовать за быстрыми изменениями полей, и поэтому в движении принимают участие только электроны. Ионы же просто создают однородный фон положительных зарядов и обеспечивают электрическую нейтральность в среднем. Представление об однородном фоне зарядов и об электронной жидкости можно использовать только в том случае, когда характерные длины велики, по крайней мере по сравнению с расстоянием между частицами . В действительности имеется и другая ограничивающая длина — дебаевский радиус экранирования,

которая при обычных температурах плазмы больше чем Она-то и является реальной границей между мелкомасштабным индивидуальным движением отдельных частиц и коллективным движением жидкости (см. § 10).

Чтобы избежать излишних осложнений, мы рассмотрим только высокочастотные колебания плазмы, пренебрегая движением ионов. Мы будем также пренебрегать и влиянием столкновений. Электроны, имеющие заряд и массу , описываются плотностью и средней скоростью . Равновесные плотности зарядов ионов и электронов равны . Уравнения движения электронной жидкости запишем в виде

    (10.88)

где тепловая кинетическая энергия электронов учитывается электронным давлением (которое предполагается скалярным). Плотности заряда и тока соответственно описываются соотношениями

    (10.89)

и, следовательно, уравнения Максвелла можно записать в виде

Предположим теперь, что в невозмущенном состоянии электронная жидкость покоится, ее плотность равна а поля отсутствуют, и рассмотрим малые отклонения от этого состояния, обусловленные; некоторыми начальными возмущениями. Система линеаризованных уравнений включает уравнения

    (10.91)

и два однородных уравнения Максвелла. Здесь отклонения от равновесных величин. В том случае, когда внешнее магнитное поле отлично от нуля, во второе уравнение (10.91) следует добавить член задачу 10.7). Поскольку флуктуационное поле В является величиной первого порядка малости, то произведение имеет второй порядок малости и должно быть отброшено. Первое уравнение (10.91) фактически не является независимым и может быть получено из третьего и четвертого.

Поскольку уравнение движения в системе (10.91) не содержит магнитного поля, то следует ожидать, что существуют решения чисто электростатической природы с Комбинируя уравнение непрерывности и уравнение движения, мы получаем волновое уравнение для флуктуаций плотности

С другой стороны, дифференцируя по времени уравнение Ампера и уравнение движения и комбинируя их, мы приходим к следующему уравнению для полей:

Структура левых частей уравнений (10.92) и (10.93), по существу, одинакова. Поэтому мы вполне можем положить, не опасаясь несовместности уравнений, что Поскольку статические поля уже исключены, то мы пришли к случаю . При из закона Фарадея вытекает, что и, следовательно, поле Е равно градиенту скалярного потенциала. Каждая составляющая поля Е, очевидно, удовлетворяет тому же уравнению (10.92), что и флуктуации плотности. В пренебрежении электронным давлением в (10.92) плотность, скорость и электрическое поле колеблются с плазменной частотой

    (10.94)

Если же член с давлением существен, то мы получаем следующее дисперсионное соотношение для частоты:

    (10-95)

Определение коэффициента при требует известной аккуратности. Мы можем считать, что связаны адиабатическим соотношением но обычная акустическая величина соответствующая газу частиц с тремя внешними степенями свободы, но без внутренних степеней свободы, неприменима. Это

объясняется тем, что частота рассматриваемых колебаний плотности в противоположность акустическому случаю много больше частоты столкновений. Поэтому колебания плотности имеют существенно одномерную природу и, следовательно, определяются величиной у, соответствующей одной трансляционной степени свободы. Поскольку где — число степеней свободы, то мы получаем, что для нашего случая и

    (10.96)

Используя соотношение и определяя средний квадрат составляющей скорости в одном направлении (параллельном электрическому полю) соотношением

    (10.97)

мы можем записать дисперсионное соотношение (10.95) в виде

    (10.98)

Это соотношение является приближенным. Оно справедливо для случая длинных волн и в действительности представляет собой два первых члена в разложении по моментам распределения скоростей электронов (см. задачу 10.6). Записанное в форме (10.98) дисперсионное соотношение имеет более широкую область применимости, чем рассмотренный при его выводе случай идеального газа. Оно применимо, например, также к плазменным колебаниям в вырожденном электронном ферми-газе, в котором заполнены все ячейки в пространстве скоростей, лежащие внутри сферы с радиусом, равным скорости Ферми VF. При этом среднее значение квадрата составляющей скорости будет

    (10.99)

Квантовые эффекты входят явно в дисперсионное соотношение только в членах более высокого порядка в разложении по

Колебания, описанные выше, являются продольными электростатическими колебаниями, при которых колеблющихся магнитных полей нет. Это означает, что они не могут возбудить излучение в неограниченной плазме. Однако в плазме существуют и другие типы колебаний, которые представляют собой поперечные электромагнитные волны. Для нахождения различных возможных плазменных колебаний мы предположим, что все величины изменяются как и определим характеристическое соотношение между и , как это было сделано для магнитогидродинамических волн в § 8. При таком предположении линеаризованные уравнения (10.91) и два однородных уравнения Максвелла

примут вид

    (10.100)

Из уравнений Максвелла можно выразить v через к и Е:

    (10.101)

Далее, используя уравнение движения и уравнение непрерывности для Е, исключим v и получим уравнение, содержащее только Е:

    (10.102)

Если представить Е в виде суммы составляющих, параллельной и перпендикулярной к,

то (10.102) запишется в виде двух уравнений

    (10.104)

Первое из этих уравнений показывает, что продольные волны удовлетворяют дисперсионному соотношению (10.98), рассмотренному выше, а из второго уравнения следует существование двух поперечных волн (с различными поляризациями), дисперсионное соотношение для которых имеет вид

    (10.105)

Соотношение (10.105) совпадает с дисперсионным соотношением для поперечных электромагнитных волн, описанных с другой точки зрения в гл. 7, § 9. В отсутствие внешних полей электростатические колебания и поперечные электромагнитные колебания не связаны друг с другом. Однако при наличии, например, внешнего магнитного

поля уравнение движения имеет дополнительный член, содержащий магнитное поле, и поэтому колебания становятся связанными (см. задачу 10.7).