§ 7. Волны в проводящей среде

Распространение волн в проводящей среде существенно отличается от распространения в непроводящей среде. Если наряду с диэлектрической и магнитной проницаемостями в и среда характеризуется также проводимостью а, то к уравнениям Максвелла следует добавить закон Ома

С учетом (7.68) мы можем представить уравнения Максвелла в виде

Выше было показано, что в непроводящем диэлектрике переменные во времени поля являются поперечными, т. е. векторы Е и Н перпендикулярны направлению пространственного изменения поля. В предельном случае нулевой частоты, как мы знаем из электростатики и магнитостатики, статические поля в диэлектрике продольны в том смысле, что они получаются из скалярных потенциалов и поэтому параллельны направлению пространственного изменения последних.

При отличной от нуля проводимости картина несколько изменяется. Рассмотрим для простоты поля, зависящие только от одной пространственной координаты Разложим Е и Н на продольную и поперечную составляющие

Из свойства оператора ротора следует, что поперечные составляющие Е и Н удовлетворяют двум роторным уравнениям системы (7.69), приводящим к поперечным волнам (см. ниже), в то время как продольные составляющие удовлетворяют уравнениям

Из первой пары уравнений следует, что единственным возможным продольным магнитным полем является статическое однородное поле. В этом отношении проводящая среда ведет себя как и непроводящая. Однако вторая пара уравнений в (7.71) показывает,

что продольное электрическое поле однородно в пространстве, но изменяется во времени

Следовательно, в отсутствие внешних токов статическое продольное поле не может существовать в проводящей среде. Для хороших проводников, таких, как медь, а имеет величину порядка 1017 сек так что возмущения затухают за весьма короткое время.

Рассмотрим теперь поперечные поля в проводящей среде. В предположении, что поля изменяются как из первого роторного уравнения (7.69) получаем соотношение

а из второго — соотношение

Исключая Н или Е из двух последних уравнений, находим

Отсюда следует, что волновой вектор k является комплексным

Первый член соответствует току смещения, а второй — току проводимости. Ветвь квадратного корня в выражении для k выбирается таким образом, чтобы при получались известные результаты. Предполагая, что проводимость а — действительное число, получаем

где

Для плохого проводника справедливо приближенное соотношение

с точностью до членов первого порядка по . В этом приближении и затухание волны не зависит от частоты, если не учитывать возможной зависимости проводимости от частоты. Наоборот, для хорошего проводника а и Р

приближенно равны друг другу и

здесь сохранен только член наинизшего порядка малости по Волны, описываемые выражением являются затухающими поперечными волнами. Их поля могут быть записаны в виде

где — единичный вектор в направлении к. Из уравнения следует, что а соотношение (7.73), связывающее Н и Е, дает

Отсюда видно, что в проводнике фазы Н и совпадают. Определяя амплитуду и фазу k соотношениями

мы можем записать (7.81) в виде

Выражение (7.83) показывает, что Н отстает во времени от Е на фазовый угол а отношение амплитуд Н и Е равно

В хороших проводниках магнитное поле велико по сравнению с электрическим полем и отстает от него по фазе почти на 45°. При этом энергия почти полностью сосредоточена в магнитном поле.

Как показывают соотношения (7.80), волны экспоненциально затухают с расстоянием. Это означает, что амплитуда электромагнитной волны внутри проводника уменьшается в раза на расстоянии

(Последнее выражение справедливо для хороших проводников.)

Длина называется толщиной скин-слоя, или глубиной проникновения.

Для меди, например, 60,85 см при частоте 60 гц и см при . Столь быстрое ослабление волн означает, что токи в высокочастотных контурах текут только по поверхности проводников. Отсюда, в частности, следует, что индуктивность элементов контура на высокой частоте несколько меньше, чем на низкой, из-за вытеснения магнитного потока из толщи проводников.

Задача об отражении и преломлении на границе между проводящими средами весьма сложна и здесь не рассматривается. Интересующегося читателя мы отсылаем к книге Стрэттона [106]. В гл. 8, § 1, будут рассмотрены поля на границе между диэлектриком и хорошим проводником.