§ 5. Теорема сложения для сферических гармоник

Весьма интересное и часто используемое математическое свойство сферических гармоник характеризуется так называемой теоремой сложения.

Фиг. 3.5.

Пусть даны две точки со сферическими координатами соответственно и пусть у — угол между радиусами-векторами этих точек (фиг. 3.5). Теорема сложения выражает полином Лежандра порядка, зависящий от угла у, через

произведения сферических гармоник, зависящих от :

Здесь . Для доказательства этого соотношения будем считать вектор фиксированным в пространстве. Тогда полином будет функцией углов в которую углы входят как параметры. Следовательно, можно разложить в ряд типа (3.58):

Сопоставляя это выражение с (3.62), мы видим, что в (3.63) должны входить лишь члены с Чтобы убедиться в этом, заметим, что если выбрать оси координат так, чтобы вектор был направлен вдоль оси , то угол у станет обычным полярным углом и будет удовлетворять уравнению

где — оператор Лапласа в новых осях. Если теперь повернуть оси назад в положение, указанное на фиг. 3.5, то оператор Лапласа не изменится тоже останется неизменным. Таким образом, по-прежнему удовлетворяет уравнению типа (3.64), т. е. является сферической гармоникой порядка Иными словами, это значит, что представляет собой линейную комбинацию функций порядка

Коэффициенты определяются соотношением

Чтобы определить коэффициент заметим, что его можно рассматривать, согласно (3.60), как соответствующий коэффициент разложения функции в ряд по , где у, Р — угловые координаты в штрихованной

системе, в которой получено уравнение (3.64). Тогда, согласно (3.59), учитывая, что принимает лишь одно значение, получаем

В пределе углы , являющиеся функциями переходят в , что и доказывает теорему сложения (3.62). Иногда эту теорему записывают не в функциях а в функциях . В этом случае она имеет следующий вид:

В пределе дает «правило суммирования» квадратов функции

С помощью теоремы сложения можно записать разложение (3.41) потенциала в точке обусловленного единичным зарядом в точке в более общем виде. Подставляя в (3.41) выражение (3.62) для получаем

Соотношение (3.70) представляет потенциал в виде суммы произведений в координатах Такое представление удобно, когда приходится, например, интегрировать по плотности зарядов и т. п., т. е. когда одна из переменных является переменной интегрирования, а вторая — координатой точки наблюдения. Правда, это удобство достигается ценой замены простой суммы на двойную.