§ 8. Электропроводность плазмы

Результаты исследования многократного рассеяния могут быть почти непосредственно применены к совершенно отличной на первый взгляд проблеме определения электропроводности плазмы. Для простоты мы будем рассматривать так называемый газ Лоренца, содержащий в единице объема N фиксированных ионов с зарядом и NZ свободных электронов. Кроме того, пренебрежем электрон-электронными взаимодействиями. Приближение фиксированных ионов представляется разумным, по крайней мере для плазмы, у которой кинетическая температура электронов и ионов примерно одинакова. Влияние электрон-электронных соударений будет рассмотрено несколько позже.

Простая теория электропроводности Друде, вкратце изложенная в гл. 7, § 8, основана на рассмотрении уравнения движения одного электрона

    (13.117)

где v — частота соударений. Для низких частот электропроводность а, обусловленная движением электронов, определяется равенством

    (13.118)

Для вычисления соответствующей частоты соударений заметим, что слагаемое в (13.117) определяет скорость убывания продольного импульса из-за соударений с ионами при движении электрона под действием приложенного электрического поля. Если угол рассеяния при одном упругом соударении обозначить (фиг. 13.9), то потеря продольного импульса частицы с импульсом будет равна Среднее значение этой величины, умноженное на число соударений на единице длины, и определяет уменьшение продольного импульса на единице длины, т. е. величину

Фиг. 13.9.

Таким образом,

    (13.119)

где а — полное сечение рассеяния (13.104). Так как кулоновское рассеяние происходит в основном на очень малые углы, можно принять Таким образом, потери продольного импульса на единице длины оказываются равными

    (13.120)

здесь использовано выражение (13.106) для Подставляя (13.120) в (13.118), получаем выражение для электропроводности

    (13.121)

Найденный результат относится к электронам со скоростью

Нужно провести усреднение по тепловому распределению скоростей. Зависимость от скорости v в (13.121) определяется в основном множителем Аргумент логарифма можно, не совершая значительной ошибки, вычислять для средней скорости. При энергиях, соответствующих даже наиболее горячей плазме, можно пренебречь влиянием размеров ядра, поэтому положим Выбор вели, чины несколько более сложен. Если действие атомов описывать экранированным потенциалом, то для следует использовать выражение (13.97) или (13.98), где радиус атома а определяется соотношением (13.95). Взаимодействие при электрон-ионных соударениях в плазме описывается экранированным потенциалом Дебая — Хюккеля (10.113). Следовательно, в этом случае роль

радиуса атома а в формулах для играет дебаевский радиус При расчетах следует пользоваться выражением (13.97) или (13.98) в зависимости от того, какая из этих величин больше. С учетом всего сказанного аргумент логарифма в (13.121) принимает вид

где определяется соотношением (10.106) или (10.112), а . Если средняя энергия электрона меньше то следует использовать верхнее значение в (13.122), если же она больше этой величины, то нижнее.

При максвелловском распределении скоростей среднее значение степени скорости равно

Следовательно, значение проводимости (13.121), усредненной по максвелловскому распределению скоростей, оказывается равным

Этот приближенный результат, полученный весьма нехитрым способом с помощью элементарной теории Друде, отличается множителем 2 от точного значения, найденного исходя из уравнения Больцмана. Физический механизм, используемый в обоих расчетах, одинаков, однако при более строгом исследовании производится усреднение не величины а величины . Поэтому полученные результаты отличаются множителем

При учете электрон-электронных соударений потери продольного импульса возрастают и, следовательно, проводимость меньше, чем удвоенная величина (13.124). Относительное уменьшение

зависит от Z приблизительно как и меняется от 0,58 при до 1,0 при Таким образом, выражение (13.124) в приведенном виде может служить хорошим приближением для расчета проводимости водородной или дейтериевой плазмы с учетом влияния электрон-электронных соударений. Используя классит ческое (низкоэнергетическое) значение (13.122) для , можно придать формуле (13.124) следующую, весьма наглядную форму;

Величина Л имеет порядок 104 и, таким образом, для типичной водородной плазмы . Хотя эта величина и меньше проводимости металлов , но все же она достаточно велика для того, чтобы при исследовании проникновения полей в плазму можно было, как это и делалось в гл. 10, пользоваться приближением бесконечной проводимости.