ЗАДАЧИ

10.1. Бесконечно длинный твердый круглый металлический цилиндр имеет радиус и проводимость Вокруг него расположен тесно примыкающий, но изолированный от него полый цилиндр из того же материала с внутренним радиусом и внешним радиусом R. Под действием внешнего напряжения вдоль внешнего и внутреннего цилиндров текут равные, но противоположно направленные токи, однородно распределенные по поперечному сечению цилиндров. При приложенное напряжение снимается.

а) Найти распределение магнитного поля внутри цилиндров, существовавшее до момента

б) Найти зависимость магнитного поля от времени после момента пренебрегая токами смещения.

в) Каково поведение магнитного поля в функции от времени на большом интервале времени? Определить, что следует понимать под большим интервалом времени.

10.2. Сравнительно устойчивый самосжатый плазменный столб можно получить, создавая внутри плазмы перед ее сжатием продольное магнитное поле. Пусть в начальный момент плазма заполняет проводящую трубу радиусом внутри которой имеется однородное продольное магнитное поле Затем вдоль трубы прикладывается напряжение, так что начинает течь продольный ток, создающий азимутальное магнитное поле.

а) Показать, что, применяя условия равновесия, можно получить следующее уравнение баланса давлений:

б) Пусть плазма имеет резкую границу и столь большую проводимость, что ток течет только в тонком поверхностном слое. Показать, что при этих условиях радиус плазменного столба в квазистатическом приближении описывается уравнением

где

— приложенное электрическое поле.

в) Пусть начальное продольное магнитное поле равно 100 гаусс, а приложенное электрическое поле в начальный момент равно 1 в/см и спадает почти линейно до нуля за 1 мсек. Определить конечный радиус, если начальный радиус равен 50 см. Эти условия приблизительно соответствуют английской тороидальной установке «Зета», но из-за внешних индуктивностей достигнутое в ней сжатие меньше расчетного (см. [24]).

10.3. Рассмотреть магнитогидродинамические волны в сжимаемой невязкой идеально проводящей жидкости в однородном статическом магнитном поле Если направление распространения не параллельно и не перпендикулярно то волны не разделяются на чисто продольные (магнитозвуковые) и поперечные (альфвеновские). Пусть угол между направлением распространения, характеризуемым волновым вектором к, и полем Во равен 0.

а) Показать, что имеются три различные волны, фазовые скорости которых определяются формулами

где s — скорость звука в жидкости, — альфвеновская скорость.

б) Найти волновые векторы этих трех волн и убедиться, что первая (альфвеновская) волна всегда поперечна, в то время как другие две волны не являются ни продольными, ни поперечными.

в) Определить фазовые скорости и волновые векторы смешанных волн в предположении, что Показать, что для одной из этих волн единственная существенная составляющая скорости параллельна магнитному полю, а для другой единственная составляющая скорости перпендикулярна полю и лежит в плоскости, содержащей к и

10.4. Несжимаемая невязкая идеально проводящая жидкость с постоянной плотностью находится в однородном статическом магнитном поле и на нее действует гравитационное поле с потенциалом

а) Показать, что существуют магнитогидродинамические волны произвольной амплитуды и формы которые описываются уравнениями

б) Пусть при в жидкости существует некоторое возмущение поля удовлетворяющее этим уравнениям с верхним знаком. Определить поведение такого возмущения в функции от времени.

10.5. Уравнение движения для электронной плазмы, в которое включен феноменологический член, описывающий столкновения, но не учитывается гидростатическое давление (приближение нулевой температуры), имеет вид

где v — частота столкновений.

а) Показать, что при наличии однородных внешних статического и магнитного полей линеаризованное выражение закона Ома для стационарных токов имеет вид

где тензор проводимости

— соответственно электронная плазменная и ларморовская частоты. Направление В выбрано вдоль оси .

б) Пусть при внезапно включается внешнее электрическое поле Е, направленное вдоль оси и перпендикулярное магнитному полю В, направленному вдоль оси z. Пусть, далее, при ток равен нулю. Найти выражения для составляющих тока в произвольный момент времени, в том числе и в период установления.

10.6. Влияние конечной температуры плазмы может быть приближенно описано с помощью кинетического уравнения Больцмана без учета столкновений (уравнение Власова). Пусть является функцией распределения для электронов (с зарядом и массой ) однокомпонентной плазмы. Уравнение Власова имеет вид

где градиенты в пространстве координат и скоростей, ускорение частицы. Для случая электростатических колебаний плазмы где Е — макроскопическое электрическое поле, удовлетворяющее уравнению

Пусть - нормированная равновесная функция распределения электронов:

а) Показать, что дисперсионное соотношение для малых продольных плазменных колебаний имеет вид

б) Предполагая, что фазовая скорость волны велика по сравнению с тепловыми скоростями, показать, что это дисперсионное соотношение приводит к следующему разложению:

где знак означает усреднение по равновесному распределению Сравнить этот результат с соответствующим выражением в тексте главы для модели электронной жидкости.

в) С чем связана особенность дисперсионного соотношения при

10.7. Рассмотреть задачу о волнах в электронной плазме в присутствии внешнего магнитного поля Использовать при этом модель электронной жидкости, пренебрегая членами, описывающими давление и столкновения.

а) Написать линеаризованные уравнения движения и уравнения Максвелла, предполагая, что все переменные изменяются пропорционально

б) Показать, что дисперсионное соотношение между частотами различных типов колебаний и волновыми числами можно записать в виде

где b — единичный вектор в направлении и — соответственно плазменная и ларморовская частоты.

в) Предполагая, что сор, найти приближенное поведение корней для случаев, когда вектор к параллелен b и перпендикулярен b. Построить зависимость от для этих двух случаев.