§ 7. Рассеяние на свободных зарядах. Формула Томсона

Если плоская монохроматическая электромагнитная волна падает на свободную частицу с зарядом и массой , то частица испытывает ускорение и, следовательно, излучает. Направление излучения не совпадает с направлением падающей волны, частота же его при нерелятивистском движении совпадает с частотой падающего поля. В целом этот эффект можно рассматривать как рассеяние падающего излучения.

Мгновенное значение мощности излучения для частицы с зарядом при нерелятивистском движении определяется формулой Лармора (14.21):

где — угол между направлением наблюдения и ускорением. Ускорение обусловлено действием падающей плоской электромагнитной волны. Обозначая волновой вектор через к, а вектор поляризации -

через , запишем электрическое поле волны в виде

    (14.98)

Согласно нерелятивистскому уравнению движения, ускорение равно

    (14.99)

Если предположить, что смещение заряда за период колебания много меньше длины волны, то средний по времени квадрат ускорения будет равен При этом средняя мощность, излучаемая в единицу телесного угла, равна

Так как описываемое явление проще всего рассматривать как рассеяние, удобно ввести эффективное дифференциальное сечение рассеяния, определив его следующим образом:

    (14.101)

Поток энергии падающей волны определяется средним по времени значением вектора Пойнтинга для плоской волны, т. е. равен . Таким образом, согласно (14.100), для дифференциального эффективного сечения, рассеяния получаем

Если падающая волна распространяется в направлении оси , а вектор поляризации составляет угол с осью как показано на фиг. 14.12, то угловое распределение определяется множителем

    (14.103)

Для неполяризованного падающего излучения дифференциальное сучение рассеяния получается усреднением по углу , что приводит к соотношению

Это — так называемая формула Томсона для рассеяния падающего излучения на свободном заряде. Она описывает рассеяние рентгеновских лучей на электронах или у-лучей на протонах. Угловое

распределение излучения изображено на фиг. 14.13 (сплошная кривая). Для полного эффективного сечения рассеяния, так называемого томсоновского сечения рассеяния, получаем

Для электронов . Величина см, имеющая размерность длины, называется обычно классическим радиусом электрона, так как однородное распределение заряда, равного заряду электрона, должно иметь радиус такого порядка, чтобы собственная электростатическая энергия была равна массе покоя электрона (см. гл. 17).

Фиг. 14.12.

Классический результат Томсона справедлив лишь на низких частотах. Если частота со становится сравнимой с величиной , т. е. если энергия фотона сравнима или превышает энергию покоя, то начинают существенно сказываться квантовомеханические эффекты. Возможна и другая интерпретация указанного критерия: можно ожидать появления квантовых эффектов, когда длина волны излучения становится сравнимой или меньше комптоновской длины волны частицы На высоких частотах угловое распределение излучения более сконцентрировано в направлении падающей волны, как показано пунктирными кривыми на фиг. 14.13; при этом, однако, сечение излучения для нулевого угла всегда совпадает с определенным по формуле Томсона.

Полное сечение рассеяния оказывается меньше томсоновского сечения рассеяния (14.105). Это так называемое комптоновское рассеяние. Для электронов оно описывается формулой Клейна — Нишины. Здесь мы приведем для справок асимптотические выражения

полного сечения рассеяния, определяемого по формуле Клейна — Нишины:

    (14.106)

Для протонов отклонения от формулы Томсона возникают при энергиях фотонов, превышающих приблизительно величина гораздо меньше критического значения которое можно было бы ожидать, исходя из аналогии с комптон-эффектом для электронов.

Фиг. 14.13. Дифференциальное сечение рассеяния Эта неполяризованного излучения на свободных электронах.

Сплошная кривая — классический результат Томсона. Пунктирные кривые соответствуют результатам расчета по квантовомеханической формуле Клейна — Нишины. Цифры у кривых указывают значения

Это обусловлено тем, что в отличие от электрона протон нельзя рассматривать как точечную частицу, характеризуемую лишь электромагнитным взаимодействием; протон — более сложное образование с размазанным распределением заряда с радиусом порядка см, обусловленным сильными взаимодействиями с -мезонами. Отличие от томсоновского рассеяния (быстрое убывание сечения рассеяния) проявляется при энергиях фотонов порядка энергии покоя -мезона .