§ 7. Сила и момент, действующие на ограниченное распределение тока во внешнем магнитном поле

Ограниченное распределение тока, находящееся во внешнем магнитном поле с вектором индукции испытывает действие сил и вращающих моментов, возникающих в соответствии с законами Ампера. Общие выражения для полной силы и момента даются соотношениями (5.12) и (5.13). Если в области, занятой токами,

внешнее магнитное поле медленно меняется от точки к точке то основной вклад в силу и вращающий момент можно найти, используя разложение в ряд Тейлора. Составляющие В могут быть представлены вблизи некоторого надлежащим образом выбранного начала отсчета в виде разложений

Выражение для силы (5.12) принимает при этом вид

Интеграл по объему от J для стационарных токов равен нулю, поэтому наименьший порядок малости будет иметь член разложения с градиентом В. Поскольку подынтегральное выражение, кроме , содержит еще J и можно ожидать, что интеграл удастся выразить через магнитный момент (5.55). Воспользуемся для этого равенствами

Здесь учтено, что для внешнего поля и что оператор градиента действует лишь на вектор В. Таким образом, выражение силы можно переписать в виде

Можно далее воспользоваться векторным тождеством (5.54), заменив в нем фиксированный вектор на В. В результате получим

    (5.69)

где m — магнитный момент, определяемый соотношением (5.55) Второе представление для силы в (5.69) получается при учете равенства третье — при учете соотношения

Таким образом, на ограниченное распределение тока в неоднородном магнитном поле действует сила, пропорциональная магнитному моменту этого тока m и определяемая выражением (5.69). В качестве простого приложения полученного результата можно определить среднее по времени значение силы, которая действует на заряженную частицу, движущуюся по спирали в неоднородном магнитном поле. Как известно, заряженная частица в однородном магнитном поле движется по окружности в плоскости, нормальной к полю, сохраняя постоянную скорость в направлении поля; траекторией движения частицы является, таким образом, спираль. В среднем по времени круговое движение эквивалентно линейному

круговому току с магнитным моментом, определяемым соотношением (5.60). Если же поле не однородно, а обладает малым градиентом (таким, что на одном витке спиральной траектории величина поля меняется незначительно), то можно считать, что движение частицы определяется силой, действующей на эквивалентный магнитный момент. Анализ знаков момента и силы показывает, что независимо от знака заряда заряженные частицы выталкиваются из области с более высокой плотностью магнитного потока. На этом эффекте основано действие так называемых магнитных зеркал, рассматриваемых с другой точки зрения в гл. 12, § 10.

Аналогичным образом, подставляя в (5.13) разложение (5.65), можно найти полный вращающий момент, действующий на ограниченное распределение тока. При этом уже нулевой член разложения оказывается отличным от нуля.

Удерживая лишь главный член разложения, получаем

Раскрывая тройное векторное произведение, находим

Первый интеграл совпадает с рассмотренным ранее [см. (5.68)], так что его значение можно написать сразу. Второй интеграл для стационарного ограниченного распределения тока обращается в нуль, что следует из векторного тождества

В результате главный член разложения для вращающего момента принимает вид

Это уже знакомое нам выражение для вращающего момента, действующего на диполь, введенное в § 1 при рассмотрении способов определения величины и направления вектора магнитной индукции.

Потенциальную энергию постоянного магнитного момента (или магнитного диполя) во внешнем магнитном поле можно найти, исходя как из выражения для силы (5.69), так и из выражения для вращающего момента (5.72). Рассматривая силу как взятый с обратным знаком градиент потенциальной энергии находим

Для магнитного диполя, находящегося в однородном поле, вращающий момент (5.72) можно интерпретировать как взятую с обратным знаком производную U по углу между векторами Этот известный результат отражает тот факт, что диполь стремится ориентироваться в направлении магнитного поля и принять положение с наименьшей потенциальной энергией.

В заключение заметим, что выражение (5.73) не определяет, полную энергию магнитного момента во внешнем поле. При внесении диполя m на занимаемое им место в магнитном поле следует еще совершить работу по поддержанию тока J, обеспечивающего постоянство момента т. Несмотря на то что конечное состояние стационарно, его установлению предшествует некоторый переходный процесс, в течение которого поля меняются во времени. Этот процесс лежит вне рамок настоящего исследования. Поэтому окончательное обсуждение вопроса об энергии магнитного поля следует отложить до гл. 6, § 2, когда уже будет рассмотрен закон индукции Фарадея.