§ 10. Разделение переменных. У равнение Лапласа в декартовых координатах
Одним из наиболее удобных и употребительных методов решения уравнений в частных производных математической физики является метод разделения переменных. Использование этого метода часто приводит к построению систем ортогональных функций, имеющих
самостоятельное значение. Как известно, уравнения, содержащие трехмерный оператор Лапласа, разделяются в одиннадцати различных системах координат (см. книгу Морса и Фешбаха 
). Мы рассмотрим подробно лишь три из них — декартову (прямоугольную), сферическую и цилиндрическую, причем начнем с простейшей — декартовой.
Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид
Решение этого уравнения в частных производных может быть выражено через решения трех обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих одинаковый вид 
если представить потенциал как произведение трех функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты:
Подставляя (2.55) в (2.54) и деля на Ф, пблучаем
Здесь частные производные заменены полными, поскольку каждая функция зависит лишь от одной переменной. Чтобы соотношение (2.56) было справедливо для произвольных значений аргументов, каждое слагаемое должно быть в отдельности постоянным:
где 
Считая совершенно произвольно 
положительными, мы получаем в качестве решений трех дифференциальных уравнений (2.57) функции 
Потенциал (2.55) получается как произведение этих функций
(2.58)
Пока числа 
здесь совершенно произвольны, так что линейной суперпозицией решений типа (2.58) можно получить весьма широкий класс решений уравнения Лапласа.
Чтобы определить а и Р, на потенциал нужно наложить определенные граничные условия. Рассмотрим для примера прямоугольный параллелепипед, расположенный, как показано на фиг. 2.13, с размерами 
по осям 
. Пусть на всех гранях параллелепипеда потенциал равен нулю, за исключением грани 
, на которой задано значение потенциала 
Фиг. 2.13. Полый прямоугольный параллелепипед, на пяти гранях которого потенциал нулевой, а на шестой 
принимает заданные значения 
Требуется найти значение потенциала всюду внутри параллелепипеда. Исходя из требования 
при 
легко убедиться, что искомые функции X, Y, Z имеют вид
Из условия 
при 
следует, что а 
и 
Вводя обозначения
мы можем записать частное решение
которое удовлетворяет граничным условиям на всех гранях, кроме одной. Искомый потенциал можно разложить в ряд по функциям 
с первоначально произвольными коэффициентами
коэффициенты должны определяться из последнего граничного условия. Остается использовать условие 
при 
Полученное соотношение представляет собой разложение функции 
в двойной ряд Фурье. Следовательно, коэффициенты этого ряда равны
Если потенциал отличен от нуля на всех шести гранях параллелепипеда, то искомое решение можно получить как линейную суперпозицию шести решений типа (2.62) и (2.64), соответствующих каждой грани. Чтобы решить уравнение Пуассона, т. е. найти потенциал внутри параллелепипеда при заданных распределениях зарядов внутри него и заданных граничных условиях на его поверхности, нужно, согласно (1.43) и (1.44), построить соответствующую функцию Грина. Мы вернемся к этому вопросу после рассмотрения уравнения Лапласа в сферической и цилиндрической системах координат. Здесь же мы заметим лишь, что решение, определяемое соотношениями (2.62) и (2.64), эквивалентно поверхностному интегралу в (1.44).
