Глава 2. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ.
Во многих задачах электростатики рассматриваются граничные поверхности, на которых задан потенциал или плотность поверхностного заряда. В гл. 1, § 10, дано формальное решение задач такого типа с помощью функций Грина. В практически встречающихся случаях (даже при весьма сильной идеализации) определение соответствующей функции Грина подчас весьма затруднительно. В связи с этим был разработан ряд других методов решения граничных задач, причем некоторые из них довольно далеки от метода функций Грина. В этой главе мы познакомимся с двумя такими методами: 1) методом изображений, весьма тесно связанным с методом функций Грина, и 2) методом разложения по ортогональным функциям, в котором используется само дифференциальное уравнение, а непосредственное построение функции Грина не производится. Другие методы решения электростатических задач, как, например, метод конформных преобразований в двумерных задачах, рассматриваться не будут. Читатели, интересующиеся методом конформных преобразований, могут познакомиться с ним по литературе, приводимой в конце главы.
§ 1. Метод изображений
Метод изображений применим в тех задачах, где нужно найти поле одного или нескольких точечных зарядов при наличии граничных поверхностей, например заземленных или поддерживаемых при постоянных потенциалах проводников. При определенных условиях можно подобрать такую систему зарядов, имеющих надлежащую величину и надлежащим образом расположенных вне интересующей нас области, что действие этих зарядов обеспечивает требуемые граничные условия. Эти заряды называются зарядами-изображениями, а замена истинной задачи с граничными условиями
на эквивалентную задачу определения поля в расширенной области без граничных условий, но с учетом зарядов-изображений называется методом изображений. Заряды-изображения должны находиться вне интересующего нас объема, поскольку потенциал создаваемого ими поля должен удовлетворять уравнению Лапласа в этом объеме; частное же решение уравнения Пуассона дается суммой потенциалов, соответствующих реальным зарядам, находящимся внутри объема.
Фиг. 2.1. К решению задачи методом изображений. Слева — исходная задача, справа — эквивалентная задача, полученная методом изображений.
В качестве простейшего примера рассмотрим точечный заряд, расположенный у бесконечной проводящей плоскости, имеющей нулевой потенциал (фиг. 2.1). Очевидно, эта задача эквивалентна задаче об определении потенциала системы двух зарядов — первоначального заряда и равного ему по величине, но противоположного по знаку заряда, расположенного зеркально симметрично первому относительно поверхности проводника.
