§ 3. Классическое и квантовомеханическое выражения для потерь энергии

Выражение (13.31) для энергии, передаваемой гармоническому осциллятору, можно использовать для вычисления энергии, теряемой на единице длины быстрой тяжелой частицей, проходящей через вещество. Предположим, что в единице объема содержится N атомов, в каждом из которых имеется Z электронов. Эти Z электронов можно разделить на группы, отмеченные индексом каждая группа содержит электронов с одинаковыми частотами связи Число можно назвать силой осциллятора. Силы осцилляторов удовлетворяют очевидному соотношению . С помощью тривиального обобщения рассуждений, приводящих к формулам (13.11) и (13.12), легко получить следующее выражение для потерь энергии тяжелой частицей:

    (13.34)

где величина определяется соотношением (13.31), причем а нижний предел интегрирования устанавливается в соответствии с (13.7). Так как функция (13.31) весьма быстро спадает до нуля для больших , нет необходимости определять верхний предел интегрирования. Интеграл от модифицированных функций Бесселя легко вычисляется, в результате чего получим следующее выражение:

    (13.35)

где Вообще говоря, Поэтому можно упростить (13.35) с помощью приближенных соотношений (3.103). Окончательное классическое выражение для потерь энергии имеет вид

где аргументом логарифма является величина

Входящее в среднее значение частоты определяется как среднее геометрическое

    (13.38)

Приведенный результат (13.36) — (13.38) был впервые получен Бором в его классической работе, посвященной определению потерь энергии (1915 г.). Наше приближенное выражение (13.13) совпадает с (13.36) во всех существенных деталях, так как слагаемое является малой поправкой даже при больших скоростях.

Формула Бора (13.36) верно описывает потери энергии для сравнительно медленных а-частиц и тяжелых ядер. Однако для электронов, мезонов, протонов и даже для быстрых а-частиц оно приводит к сильно завышенным значениям потерь энергии. Причина этого заключается в том, что для более легких частиц классическое рассмотрение уже неприменимо из-за квантовомеханических эффектов. Важнейшими квантовыми эффектами являются, во-первых, дискретность возможных значений передаваемой энергии, во-вторых, ограничения, связанные с волновой природой частиц и принципом неопределенности.

Влияние дискретности значений передаваемой энергии можно проиллюстрировать на примере вычисления классической величины переданной энергии (13.2) при . Это, грубо говоря, наименьшее значение переданной энергии, которое следует учитывать при анализе потерь энергии. Предположив для простоты, что имеется лишь одна частота связи находим

    (13.39)

где — орбитальная скорость электрона в атоме водорода в основном состоянии. Так как по порядку величины совпадает с ионизационным потенциалом атома, то для быстрой частицы передаваемая энергия, согласно классической формуле (13.39), очень мала по сравнению с ионизационным потенциалом или даже по сравнению с наименьшей энергией возбуждения

атома. Мы знаем, однако, что энергия должна передаваться определенными квантами. Столь малая величина энергии, как определяемая соотношением (13.39), просто не может быть поглощена атомом. Отсюда следует, что наше классическое рассмотрение уже неприменимо в этой области. Естественно было бы считать, что классическая формула (13.2) дает правильный результат лишь в том случае, когда вычисленная по ней передаваемая энергия велика по сравнению с характерными энергиями возбуждения атома. Это требование устанавливает совершенно иной верхний предел для значений прицельного параметра. К счастью, классический результат все же применим в статистическом смысле, если интерпретировать его содержание несколько иным образом.

Квантовое рассмотрение показывает некорректность классического утверждения о передаче сколь угодно малых количеств энергии при каждом соударении. Однако если рассмотреть большое число соударений, то окажется, что передача малых количеств энергии может осуществляться в среднем. При этом передача энергии происходит не при каждом соударении. В большинстве соударений она отсутствует, но некоторое малое число соударений сопровождается заметным возбуждением атомов. Результирующее среднее значение передаваемой энергии по многим соударениям оказывается малым. В указанном статистическом смысле устраняется противоречие между квантовым механизмом дискретной передачи энергии и классическим подходом, допускающим любое значение передаваемой энергии. Для получения полного количественного согласия необходимо использовать квантовомеханические выражения для сил осциллятора и резонансных частот со.

Второй важный квантовый эффект связан с волновой природой частиц. Принцип неопределенности накладывает известные ограничения, сужающие область применимости классических представлений об орбитальном движении. Как известно, при попытке приближенно воспроизвести классическую траекторию путем рассмотрения движения волнового пакета его путь может быть установлен лишь с точностью до неопределенности в координате Для прицельных параметров b, меньших этой неопределенности, классические понятия теряют силу. Так как частицы в силу своей волновой природы в некотором смысле «размазаны» в области с размерами порядка можно ожидать, что правильное квантовомеханическое значение потерь энергии будет при соответствовать гораздо меньшим значениям передаваемой энергии, чем это следует из (13.2). Таким образом, величина является квантовым аналогом минимального прицельного параметра (13.6).

Каждая из двух соударяющихся частиц имеет волновую при роду. При заданной относительной скорости неопределенность

координаты обусловливается более легкой частицей. Для тяжелой налетающей частицы, соударяющейся с электроном, импульс электрона в системе отсчета, относительно которой налетающая частица покоится (и которая почти совпадает с системой ЦМ), равен , где — масса электрона. Поэтому минимальное значение прицельного параметра, определяемое квантовомеханическими эффектами, равно

Для случая электрон-электронных соударений следует действовать более осторожно и рассмотреть импульс (12.34) в системе ЦМ для случая равных масс. При этом для электронов получается следующее выражение для минимального прицельного параметра:

В рассматриваемом случае следует при вычислении величины В, входящей как аргумент логарифма в выражение для подставлять в (13.14) наибольшее из двух минимальных прицельных параметров (13.6) и (13.40). Отношение классического значения к квантовому равно

При следует пользоваться классической формулой Бора. Это, очевидно, имеет место для медленных частиц с большим зарядом в полном согласии с наблюдениями. При квантовомеханическое значение минимального прицельного параметра больше классического. При этом выражение для энергетических потерь следует изменить. Аргумент логарифма в формуле (13.13) принимает в этом случае вид

Соотношение (13.13) с квантовомеханическим значением является хорошим приближением к формуле Бете (1930 г.), полученной при строгом квантовомеханическом подходе. Формула Бете с учетом эффекта близких соударений имеет вид

    (13.44)

Она отличается от приближенного выражения лишь малым поправочным членом и множителем 2 в аргументе логарифма.

Учет квантовых эффектов для электронов с помощью соотношения (13.41) приводит к следующему модифицированному

квантовомеханическому выражению для аргумента логарифма:

    (13.45)

где последнее выражение справедливо в предельном случае больших энергий. Хотя для электронов существуют и другие квантовые эффекты, например влияние спина и обменных сил, основной квантовый эффект учитывается соотношением (13.45).

Фиг. 13.4. Зависимость потерь энергии от кинетической энергии частицы,

Качественно характер зависимости потерь от энергии частицы как в классическом, так и в квантовомеханическом случаях показан на фиг. 13.4. При низких энергиях изменение потерь определяется в основном зависимостью поскольку логарифм меняется медленно. При высоких энергиях, когда потери вновь возрастают, изменяясь как ln у при Формула Бете хорошо согласуется с экспериментом для всех быстрых частиц с если их энергия не слишком высока (см. § 4).

Здесь уместно пояснить физический смысл квадратичной зависимости от у в (13.43). Одна степень у появляется из-за увеличения максимальной энергии (13.5), которая может быть передана при лобовых соударениях. Появление второй степени у связано с релятивистским изменением распределения электромагнитного поля (11.118) быстрой частицы, что приводит к уменьшению времени соударений (11.120) и возрастанию Релятивистская частица более эффективно передает энергию на больших расстояниях, чем нерелятивистская.

В ряде случаев интересно знать величину потерь энергии на единице длины, обусловленных соударениями, в которых передача энергии в одном соударении не превышает некоторой определенной величины е. Так, например, в фотографических эмульсиях пробег электронов с энергией больше 10 кэв превышает средние линейные размеры зерен бромистого серебра. Поэтому энергия, расходуемая на почернение зерен серебра, соответствует соударениям, при которых передаваемая энергия меньше 10 кэв. В классическом приближении искомое выражение для потерь энергии можно получить из формулы Бора (13.36), выбирая минимальный прицельный параметр таким образом, чтобы передаваемая энергия (13.2) была равна е. В результате получаем

Отсюда мы приходим к формуле типа (13.36), в которой аргументом логарифма служит величина

    (13.47)

Как уже говорилось выше, квантовомеханическое выражение для потерь энергии получается из классической формулы с помощью замены [см.

    (13.48)

Следовательно, квантовомеханическое выражение для потерь на единице длины, обусловленных соударениями с передачей энергии. меньшей , должно иметь вид

где

    (13.50)

Константа X — численный множитель порядка единицы, значение которого можно определить лишь с помощью детальных квантовомеханических расчетов. Согласно расчетам Бете (1930 г.), Квантовомеханическое значение можно представить следующим образом:

где определяется согласно (13.9), а минимальный прицельный параметр равен

    (13-52)

Таким образом, поскольку неопределенность полученного импульса не должна превышать импульса, передаваемого при соударении, то классическая траектория может быть определена лишь с точностью, по порядку величины не лучшей, чем (13.52). В противном случае мы не можем быть уверены, что передаваемая энергия действительно меньше е. Следовательно, соотношение (13.52) устанавливает естественный квантовомеханический нижний предел для классического представления об орбитах частиц.