§ 2. Определение силы реакции излучения из закона сохранения энергии

Возникает вопрос, как включить эффекты реакции излучения в уравнения движения заряженной частицы. Мы начнем с простых и не очень строгих рассуждений, основанных на законе сохранения энергии для нерелятивистской заряженной частицы. Более строгий вывод и учет релятивистских эффектов будут приведены в последующих параграфах.

Если не учитывать излучения, то движение заряженной частицы с массой и зарядом под действием внешней силы описывается уравнением движения Ньютона

Так как частица ускоряется, она излучает, причем мощность излучения определяется формулой Лармора (14.22):

Чтобы учесть потери энергии на излучение и их влияние на движение частицы, дополним уравнение Ньютона (17.5) силой реакции излучения

    (17.7)

Хотя сила пока еще не определена, мы можем сформулировать некоторые требования, которым она «должна» удовлетворять. Сила Гизл «должна»

1) обращаться в нуль при так как в этом случае излучение отсутствует;

2) быть пропорциональной так как а) мощность излучения пропорциональна и б) действие излучения не должно зависеть от знака заряда;

3) зависеть от характерного времени (17.3), так как, по-видимому, это единственный важный параметр.

Мы найдем вид функции , если потребуем, чтобы работа этой силы, совершаемая в течение интервала времени была равна излученной за это время энергии, взятой с обратным знаком. При этом, по крайней мере в целом за интервал времени будет выполняться закон сохранения энергии. Учитывая соотношение (17.6), можно записать требуемое условие в виде

Беря второй интеграл по частям, получаем

Если движение периодическое или такое, что скалярное произведение равно нулю при то последнее соотношение можно переписать в виде

Таким образом, в качестве силы реакции излучения можно принять величину

Модифицированное уравнение движения при этом принимает вид

    (17.9)

Уравнение (17.9) называют иногда уравнением движения Абрагама — Лоренца. Оно учитывает реакцию излучения в некотором приближении и в среднем по времени. Полученное уравнение не вполне удовлетворительно с той точки зрения, что оно не первого, а второго порядка по времени, и поэтому приводит к противоречиям с известными требованиями к динамическому уравнению движения. Это противоречие проявляется прежде всего в наличии так называемых «самоускоряющихся» решений. При отсутствии внешней силы уравнение (17.9), очевидно, имеет два возможных решения:

где а — ускорение в момент Лишь первое решение имеет смысл. Как видно из нашего вывода, второе решение неприемлемо, поскольку для моментов времени Полученное уравнение, очевидно, применимо лишь в той области, где реакция излучения является малой поправкой. В этом случае ее можно рассматривать как возмущение, приводящее к медленным или малым изменениям состояния движения частицы. Трудности, связанные с наличием «самоускоряющихся» решений, можно обойти, заменив уравнение (17.9) интегро-дифференциальным уравнением (см. § 7).

В качестве примера применения уравнения (17.9) для учета малых радиационных эффектов рассмотрим движение частицы в консервативном центральном поле сил притяжения. В отсутствие реакции излучения энергия и момент количества движения частицы сохраняются и полностью определяют движение. Вследствие испускания излучения эти величины изменяются. Если ускорения не слишком велики, то значительное изменение энергии и импульса может произойти лишь за интервалы времени, существенно превышающие характерный период движения. Поэтому мгновенное движение будет фактически таким же, как и в отсутствие излучения. Медленные же изменения можно учесть, производя усреднение по невозмущенной орбите частицы.

Если консервативное центральное поле сил притяжения описывается потенциалом то ускорение без учета реакции излучения равно

В соответствии с законом сохранения энергии скорость изменения полной энергии частицы равна взятой с обратным знаком мощности излучения

Учитывая определение (17.3) величины , это соотношение можно переписать в виде

Так как предполагается, что изменение энергии за один цикл движения по орбите мало, то выражение в правой части уравнения можно заменить его средним значением на невозмущенной орбите

Секулярное изменение момента количества движения можно определить, умножив уравнение (17.9) векторно на радиус-вектор . Так как момент количества движения L равен то

Внешний вращающий момент равен нулю, поскольку внешняя сила обладает центральной симметрией, что касается вращающего момента, обусловленного излучением, то он может быть представлен в виде

    (17.15)

Мы предположили, что момент количества движения медленно меняется во времени (т. е. мало меняется за время порядка ). Поэтому в выражении (17.15) можно пренебречь второй производной по а в качестве ускорения v следует взять его значение из невозмущенного уравнения движения (17.11). В результате скорость изменения момента количества движения можно записать в виде

    (17.16)

где, так же как и в (17.13), произведено усреднение по времени для мгновенной орбиты.

Уравнения (17.13) и (17.16) определяют закон изменения во времени параметров орбиты частицы из-за реакции излучения. Хотя детальное поведение зависит от конкретного вида силы, можно сделать некоторые общие качественные выводы. Если

характерная частота движения есть , то с точностью до безразмерного численного коэффициента порядка единицы получаем следующую оценку для усредненной величины в выражении (17.16):

Отсюда видно, что характерное время изменения момента количества движения по порядку величины равно При это время много больше периода орбитального движения . К аналогичному выводу можно прийти и исходя из соотношения (17.12).

Приведенные соотношения, учитывающие радиационные эффекты, применимы при исследовании ряда конкретных задач, например для вычисления времени каскадного перехода или -мезонов с уровня с очень большим значением квантового числа на более низкие уровни. В течение большей части времени квантовые числа в этом случае достаточно велики, и, таким образом, классическое описание движения допустимо. Рассмотрение примеров такого рода дано в задачах к этой главе.