§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами

В предыдущих параграфах были рассмотрены потери энергии частицами при прохождении через вещество. При этом предполагалось, что частица движется по прямолинейной траектории. В действительности это предположение не выполняется строго. Как уже отмечалось в § 1, любая передача импульса между взаимодействующими частицами приводит к их отклонению на некоторый угол. В вводных замечаниях к настоящей главе мы уже говорили о том, что соударения с электронами обусловливают потери энергии, тогда как соударения с атомами определяют рассеяние. Если пренебречь экранированием кулоновского поля ядра атомными электронами, то угловое отклонение, испытываемое быстрой частицей с импульсом и зарядом при прохождении на прицельном расстоянии b от тяжелого ядра с зарядом определяется, согласно (13.3), выражением

    (13.89)

Дифференциальное сечение рассеяния (имеющее размерность площади на единицу телесного угла на атом) определяется соотношением

    (13.90)

где n — число частиц, падающих на единичную площадку в единицу времени. Левая часть равенства (13.90) определяет - число частиц со значениями прицельных параметров от b до попадающих за единицу времени в область азимутальных углов между . В правой части стоит число частиц, рассеянных за единицу

времени в направлении, определяемом полярными углами в элемент телесного угла Соотношение (13.90) выражает закон сохранения числа частиц, так как между 0 и b имеется функциональная связь. Классическое выражение для дифференциального сечения рассеяния можно поэтому переписать в виде

Здесь следует брать абсолютное значение производной, так как, вообще говоря, могут иметь противоположные знаки, а сечение рассеяния, по определению, — положительная величина. Если b является многозначной функцией 0. то в (13.91) следует взять сумму по всем значениям b.

Учитывая соотношение (13.89), связывающее b и , можно найти отнесенное к одному атому резерфордовское сечение рассеяния на малые углы

Заметим, что все Z электронов атома дают сечение рассеяния, в Z раз меньшее сечения рассеяния на ядре. Поэтому влиянием электронов можно пренебречь, за исключением их экранирующего действия. Закон Резерфорда (13.92) для рассеяния на малые углы оказывается справедливым и при квантовомеханическом рассмотрении независимо от спина падающих частиц. Для больших углов следует учитывать спиновые эффекты, но для нерелятивистских частиц и в квантовомеханическом случае остается справедливой классическая формула Резерфорда, вытекающая из (13.4):

Так как наиболее интенсивное рассеяние происходит для углов и даже при выражение для малых углов (13.92) не отличается от формулы Резерфорда больше чем на 30%, то выражение (13.92) дает вполне удовлетворительные по точности результаты для всех углов, для которых справедливо описание с помощью центрального неэкранированного кулоновского поля.

Отклонения от кулоновского приближения сказываются при очень больших и очень малых углах, соответствующих малым и большим прицельным параметрам. При больших значениях b вследствие экранирующего действия атомных электронов потенциал спадает быстрее, чем по закону . Согласно модели Ферми — Томаса, потенциал можно приближенно описать выражением

    (13.94)

где радиус атома а определяется соотношением

    (13.95)

— боровский радиус атома водорода. Для значений прицельного параметра порядка а или больших потенциал (13.94) быстро убывает, что приводит к гораздо более быстрому спаданию угла рассеяния с ростом b, чем следует из формулы (13.89). Это означает, что сечение рассеяния на малых углах не возрастает как а замедляет свой рост и стремится к постоянному значению при

Простые вычисления с экранированным кулоновским потенциалом приводят к следующему общему выражению для сечения рассеяния:

где — предельное значение угла, начиная с которого сечение рассеяния уже существенно отличается от значения, определяемого соотношением (13.92). Оно может быть определено как с классической точки зрения, так и с квантовомеханической. Так же как при нахождении при исследовании энергетических потерь следует воспользоваться большим из полученных значений угла. Классическое значение можно вычислить, положив в . В результате находим

    (13.97)

С точки зрения квантовой механики конечные размеры рассеивающей частицы означают, что траектория в классическом приближении локализована в пределах следовательно, минимальная неопределенность в поперечной составляющей импульса падающей частицы должна быть

Для соударений, в которых передаваемый импульс (13.1) велик по сравнению с применима классическая формула Резерфорда. При меньших передачах импульса квантовомеханическое размывание должно сглаживать кривую сечения рассеяния. В результате приходим к следующему квантовомеханическому выражению ДЛЯ

    (13.98)

Заметим здесь, что отношение классического значения предельного угла к квантовомеханическому, равное согласуется с отношением (13.42) классического и квантового значений Для быстрых частиц величина для всех веществ, кроме

веществ с очень большим Z, меньше единицы. Поэтому в качестве следует использовать в расчетах квантовомеханический критерий (13.98). Подставляя в (13.98) выражение (13.95) для радиуса экранирования а, получаем

    (13.99)

где — импульс налетающей частицы , а — масса электрона.

При сравнительно больших углах величина сечения рассеяния начинает заметно отличаться от значения (13.92) вследствие конечного размера ядер. Для электронов и -мезонов влияние размера ядра сводится к чисто электромагнитному эффекту, тогда как для -мезонов, протонов и т. д. играют роль также специфические эффекты, связанные с природой ядерных сил. Так как все эти эффекты приводят к понижению величины сечения рассеяния по сравнению с (13.92), мы рассмотрим лишь электромагнитный эффект. Распределение заряда в ядре атома можно весьма приближенно считать однородным внутри сферы радиусом R и быстро спадающим до нуля вне этой сферы.

Это означает, что в пределах ядра электростатический потенциал меняется не как , а по параболическому закону и имеет конечную величину при

Кулоновское поле точечного заряда обладает той особенностью, что для него квантовомеханическое значение эффективного сечения рассеяния дается классической формулой Резерфорда. Поэтому для точечных ядер нет необходимости различать области углов, соответствующие прицельным параметрам, меньшим или большим квантовомеханического значения предельного прицельного параметра определяемого соотношением (13.40). При учете конечного размера ядер, однако, будет сказываться конечность де-бройлевской длины волны налетающей частицы. Если рассмотреть волновыелакеты, налетающие на ядро, которое можно считать областью с относительно постоянным (внутри сферы ) потенциалом (13.100), то результат будет существенно отличаться от простой формулы (13.92). Картина здесь весьма схожа с рассмотренной в гл. 9 дифракцией на сфере. Рассеяние происходит лишь в пределах углов, меньших , где k — соответствующая длина волны (деленная на ).

Для больших углов волны, идущие от различных частей рассеивающего препятствия, интерферируют, что приводит к быстрому убыванию рассеянного поля или, возможно, к появлению дополнительных максимумов и минимумов.

Фиг. 13.6. Зависимость сечения рассеяния на атомах от Так как длина волны частицы угла, полученная с учетом экранирующего влияния электронов на малых углах и конечного размера ядер на больших углах.

Так как длина волны частицы максимальный угол рассеяния, выше которого сечение рассеяния спадает значительно быстрее, чем по закону равен

Используя простую оценку для R, а именно см, получаем для численного значения этого угла

    (13.102)

Отметим здесь, что для всех значений Z и А имеем Если импульс падающей частицы настолько мал, что то конечность размера ядра не сказывается существенно на результатах рассеяния. Для алюминиевой мишени при что соответствует кинетической энергии для электронов, для -мезонов и для протонов. Только при энергиях, превышающих указанные значения, конечность размеров ядер сказывается на рассеянии. Для приведенного значения импульса рад.

На фиг. 13.6 качественно показан характер зависимости сечения рассеяния от угла. Пунктирная линия соответствует приближению Резерфорда (13.92) для малых углов, сплошной линией изображена качественная зависимость сечения рассеяния с учетом экранирования и конечного размера ядер. Полное сечение рассеяния можно

определить, проинтегрировав (13.96) по всем телесным углам:

    (13.103)

Окончательно получим

    (13.104)

причем при выводе последнего выражения было использовано значение (13.98) для Из полученного выражения видно, что при больших скоростях полное сечение рассеяния может быть гораздо меньше классической величины геометрической «площади сечения» атома