Глава 14. ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

Как известно, заряды, движущиеся с ускорением, излучают электромагнитные волны. В гл. 9 уже были рассмотрены примеры излучения электромагнитных волн при изменении во времени макроскопических распределений плотности зарядов и токов, которые, по существу, представляют собой движущиеся заряды. Мы еще раз вернемся к этой задаче в гл. 16, где будет дано систематическое изложение теории излучения мультиполей. Представляет, однако, интерес исследование электромагнитного излучения, источником которого является движущийся точечный заряд или несколько таких зарядов. Для этих случаев полезно разработать методы расчета, позволяющие связать интенсивность и поляризацию излучения непосредственно с характеристиками движения и траектории заряда. В частности, представляет интерес определение полных потерь на излучение, углового распределения излучения и его частотного спектра. При нерелятивистском движении излучение описывается известной формулой Лармора (см. § 2). Однако для релятивистских частиц появляется целый ряд необычных и интересных эффектов, которым мы и будем уделять основное внимание. В настоящей главе мы получим ряд общих результатов, которые будут затем применены к рассмотрению конкретных примеров излучения зарядов, совершающих заданное движение, в частности во внешних силовых полях. Следующая глава будет посвящена исследованию излучения при атомных или ядерных соударениях.

§ 1. Потенциалы Лиенара — Вихерта и поле точечного заряда

Как было показано в гл. 6, скалярный и векторный потенциалы ограниченного распределения зарядов и токов в свободном пространстве могут быть представлены в виде

где а наличие -функции обеспечивает запаздывающие свойства потенциалов в соответствии с условием причинности. Точечному заряду , находящемуся в точке с радиусом-вектором и движущемуся со скоростью соответствует распределение плотности тока

где Для такого распределения плотности источников интегрирование по объему в (14.1) проводится сразу и дает

где теперь Хотя уже выражение (14.3) достаточно удобно для расчета полей, можно провести интегрирование и по если учесть приведенное в гл. 1, § 2, правило интегрирования выражений с -функцией, аргумент которой является функцией переменной интегрирования:

Производная функции равна

где — мгновенная скорость частицы, — единичный вектор, направленный из точки нахождения заряда в точку наблюдения. Подставляя (14.5) в (14.4) и (14.3), получаем потенциалы точечного заряда, называемые потенциалами Лиенара—Вихерта:

Квадратные скобки с индексом «запазд» означают, что величины в скобках следует брать в момент времени Заметим, что для нерелятивистского движения к При этом выражения для потенциалов (14.6) переходят в обычные известные нерелятивистские формулы.

Для определения векторов поля Е и В по потенциалам можно применить соответствующие дифференциальные операторы непосредственно к (14.6). Однако проще исходить из выражения

(14.3). Заметим, что в (14.3) координаты точки наблюдения входят лишь в величину R. Следовательно, операцию градиента можно заменить следующим образом:

Поэтому электрическое и магнитное поля можно представить в виде

Штрихи у -функции означают дифференцирование по ее аргументу.

Фиг. 14.1.

Переходя к переменной и интегрируя по частям слагаемые с производной -функции, легко получаем

Удобно сначала выполнить дифференцирование единичного вектора . Как видно из фиг. 14.1, скорость изменения во времени равна взятому с обратным знаком отношению нормальной составляющей v к

    (14.10)

Выполняя дифференцирование вектора всюду, где он явно входит в выражения (14.9), получаем

Из найденных соотношений видно, что магнитное поле связано с напряженностью электрического поля простым соотношением

    (14.12)

где обе части равенства берутся с учетом запаздывания. Оставшиеся в выражениях (14.11) производные можно записать следующим образом:

    (14.13)

Окончательно электрическое поле представляется в виде

    (14.14)

а магнитное поле определяется по (14.12). Выражения для векторов поля (14.14) и (14.12), естественно, распадаются на две части: первая часть («скоростная») зависит лишь от скорости и не зависит от ускорения; вторая часть («ускорительная») линейно зависит от . Первая часть имеет фактически статический характер, убывая с расстоянием как тогда как поле, зависящее от ускорения, является типичным поперечным полем излучения, для которого Е и В перпендикулярны радиусу-вектору и изменяются как

Для равномерно движущейся частицы зависящее от скорости поле должно, конечно, совпадать с электромагнитным полем, полученным в гл. 11, § 10, из статического кулоновского поля заряда с помощью преобразований Лоренца. Так, например, для поперечной составляющей электрического поля в точке, расположенной на расстоянии b от прямолинейной траектории заряда, было найдено выражение

При этом начало отсчета времени выбрано так, что в момент заряд находится на кратчайшем расстоянии от точки наблюдения. Выражение для составляющей поля (14.15) внешне сильно отличается от «скоростной» составляющей поля (14.14). Это кажущееся различие обусловлено тем, что в (14.15) поле выражено в функции положения заряда в данный момент, а не в запаздывающий момент времени.

Фиг. 14.2. Положение равномерно движущегося заряда в данный момент и запаздывающий момент времени.

Чтобы показать эквивалентность обоих выражений, рассмотрим Здесь О — точка наблюдения, Р — точка, в которой находится заряд в данный момент t и Р — точка, где он находится в соответствующий запаздывающий момент. Расстояние PQ равно следовательно, отрезок равен

Из треугольников OPQ и PPQ находим

Из треугольника ОМР видно, что и, следовательно,

Поперечная составляющая поля, зависящего только от скорости, согласно (14.14), равна

    (14.17)

Подставляя в это соотношение значение (14.16) для выраженное через положение заряда в данный момент, мы убеждаемся, что (14.17) и (14.15) эквивалентны. Выражения для остальных составляющих полей Е и В выводятся аналогично.