§ 3. Теорема Гаусса
Интегральное выражение (1.5) не очень удобно для расчета электрического поля. Существует другое интегральное соотношение, носящее название теоремы Гаусса, которое иногда значительно удобнее и которое, кроме того, позволяет найти дифференциальное уравнение для 
Чтобы получить теорему Гаусса, рассмотрим сначала отдельный точечный заряд q и замкнутую поверхность S (фиг. 1.2). Пусть 
— расстояние от заряда до точки на поверхности 
— единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S в этой точке, 
— элемент площади поверхности. Если создаваемое зарядом q электрическое поле Е в рассматриваемой точке поверхности образует угол 
с единичным вектором нормали 
, то произведение нормальной составляющей вектора Е на элемент площади равно
(1.7)
Поскольку вектор Е направлен по прямой, соединяющей заряд q с элементом поверхности 
, то 
, где 
— элемент телесного угла, под которым видна площадка 
из точки нахождения заряда. Таким образом,
Если теперь проинтегрировать нормальную составляющую Е по всей поверхности, то легко видеть, что
Это и есть теорема Гаусса для единичного точечного заряда. Очевидно, для системы дискретных точечных зарядов она запишется в виде
где сумма берется лишь по тем зарядам, которые находятся внутри S. Для непрерывного распределения зарядов с плотностью 
теорема Гаусса имеет вид
где V — объем, ограниченный поверхностью S.
Фиг. 1.2. К выводу теоремы Гаусса. Нормальная составляющая электрического поля интегрируется по замкнутой поверхности S. Если заряд находится внутри 5 (случай а), то 
образуют всегда острый угол, если же заряд находится вне S (случай б), то угол между Е и 
иногда острый, а иногда тупой.
Уравнение (1.11) — одно из основных соотношений электростатики. Заметим, что его справедливость обусловлена следующими факторами:
1) обратной пропорциональностью силы взаимодействия зарядов квадрату расстояния между ними,
2) центральным характером сил взаимодействия,
3) линейной суперпозицией эффектов, обусловленных различными зарядами.
Очевидно, теорема Гаусса справедлива и для ньютоновских гравитационных сил, конечно, если плотность заряда заменить плотностью распределения материи.
Интересно заметить, что Кэвендиш еще до опытов Кулона, применив фактически непосредственно теорему Гаусса, поставил опыт с двумя концентрическими проводящими сферами и показал, что сила взаимодействия зарядов убывает обратно пропорционально 
где 
. Усовершенствовав технику эксперимента, Максвелл показал, что 
(см. книги Джинса [55] или Максвелла [73]).
