§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы, имеющие различный потенциал
В качестве примера применения общего метода нахождения потенциала вне сферы при заданном потенциале на ее поверхности рассмотрим задачу о проводящей сфере радиусом а, составленной из двух полусфер, разделенных тонкой изолирующей прокладкой.
Потенциалы полусфер различны. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда потенциалы равны соответственно V и — У, поскольку, добавляя к результату решение для сферы, находящейся под постоянным потенциалом, можно получить решение для произвольных потенциалов полусфер.
Фиг. 2.12.
Изолирующая прокладка расположена в плоскости 
(фиг. 2.12), потенциал верхней полусферы 
нижней 
.
Согласно (2.25), решение 
представляется интегралом
Соответствующей заменой переменных во втором интеграле 
) это выражение можно представить в виде
Из-за сложной зависимости 
у от углов 
интегралы в выражении (2.27) в общем случае не удается вычислить в замкнутом виде.
В качестве частного случая рассмотрим потенциал на положительной полуоси 
. В этом случае 
поскольку 
После элементарного интегрирования получим для потенциала выражение
При 
как и следовало ожидать, потенциал Ф равен V, а на больших расстояниях он примерно равен 
В общем случае (2.27), когда интегрирование в замкнутом виде не производится, можно разложить подынтегральное выражение в ряд и проинтегрировать каждый член ряда. Вынося за скобки множитель 
получаем
где 
Заметим, что в разложении разности радикалов останутся лишь нечетные степени 
Интегралы от нечетных степеней 
по 
равны
Подставляя (2.30) и (2.31) в (2.29), найдем потенциал
Заметим, что в (2.32) входят лишь нечетные степени 
как и следует из симметрии задачи. Если принять за параметр разложения не 
то ряд будет иметь следующий вид:
Для больших значений 
это разложение быстро сходится, так что им очень удобно пользоваться для вычисления потенциала. Уже при 
второй член ряда составляет всего 2% от первого. Легко убедиться, что для 
выражение (2.33) представляет собой разложение в ряд потенциала (2.28) на оси. Угловые множители в выражении (2.33) совпадают с полиномами Лежандра. Первый множитель — полином 
, второй — 
, а весь ряд в целом представляет собой разложение потенциала в ряд по полиномам Лежандра нечетного порядка. Мы рассмотрим этот вопрос более последовательно в гл. 3, § 3.
