§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков

Методы решения граничных задач электростатики, развитые в предыдущих главах, легко можно обобщить и на случай диэлектрических тел. В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров различных методов решения задач в применении к диэлектрическим средам.

Фиг. 4.5.

Для иллюстрации метода изображений для диэлектриков рассмотрим точечный заряд q, расположенный в полубесконечной среде с диэлектрической проницаемостью на расстоянии d от плоской границы, отделяющей эту среду от другого полубесконечного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью Примем граничную поверхность за плоскость как показано на фиг. 4.5. Насинтересует решение уравнений

удовлетворяющее следующим граничным условиям при

Так как во всем пространстве, то поле Е, как обычно, выражается через потенциал Ф. При использовании метода изображений естественно поместить заряд-изображение в точке симметричной А (фиг. 4.6).

Фиг. 4.6.

Тогда для потенциал в точке Р, характеризуемой цилиндрическими координатами , определяется выражением

где . До сих пор решения задачи был совершенно таким же, как и в том случае, когда в области вместо диэлектрика находилась проводящая среда. Теперь нужно определить потенциал при . Так как в области заряды отсутствуют, решение уравнения Лапласа в этой области не должно иметь особенностей. Естественно предположить, что потенциал в области эквивалентен потенциалу некоторого фиктивного заряда расположенного в точке А, где находится истинный заряд

При учете соотношений

и

из граничных условий (4.48) получаем требования

Решая эти уравнения, находим величины зарядов-изображений

Характер силовых линий в случаях качественно показан на фиг. 4.7.

Фиг. 4.7. Силовые линии поля точечного заряда, находящегося в диэлектрике с проницаемостью вблизи плоской границы с полупространством, заполненным средой с диэлектрической проницаемостью

Плотность связанных зарядов равна . Во внутренних точках обеих диэлектрических сред , так что везде, кроме точки нахождения заряда q. Но на граничной поверхности величина претерпевает скачок Поэтому на плоскости существует поверхностный связанный заряд с плотностью

где — единичная нормаль, направленная из области 1 в область 2, а — поляризация диэлектрика вблизи границы Поскольку

то, как легко убедиться, плотность связанных зарядов равна

В предельном случае, когда диэлектрик 2 ведет себя подобно проводнику: поле внутри него становится весьма слабым, а плотность поверхностных зарядов (4.53) стремится к значению плотности зарядов на проводящей поверхности.

Фиг. 4.8.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о диэлектрической сфере радиусом а с диэлектрической проницаемостью , помещенной в первоначально однородное электрическое поле, которое на больших расстояниях от сферы направлено вдоль оси и равно (фиг. 4.8). Как внутри, так и вне сферы свободных зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на поверхности Учитывая аксиальную симметрию задачи, можно искать решение в виде:

внутри сферы

вне сферы

Из условия на бесконечности находим, что единственным отличным от нуля коэффициентом является Остальные коэффициенты разложения определяются из граничных условий при

Первое граничное условие приводит к соотношениям

второе условие дает

Вторые уравнения в (4.57) и (4.58) могут удовлетворяться одновременно лишь в том случае, если положить для всех Оставшиеся коэффициенты выражаются через значения приложенного электрического поля

В результате решение для потенциала имеет вид

Потенциал внутри диэлектрической сферы соответствует однородному электрическому полю, направленному параллельно приложенному и имеющему величину

Вне сферы поле равно сумме приложенного поля и поля расположенного в начале координат электрического диполя с моментом

ориентированным в направлении приложенного внешнего поля. Дипольный момент равен интегралу от поляризации Р по объему сферы. Вектор поляризации равен

Он постоянен внутри сферы; интеграл от него по объему дает (4.62). Плотность связанного поверхностного заряда, согласно (4.52),

равна т. е.

Можно считать, что поверхностные заряды создают внутреннее поле, противоположное внешнему и уменьшающее значение полного поля внутри сферы до величины (4.61), как схематически показано на фиг. 4.9.

Фиг. 4.9. Диэлектрическая сфера в однородном электрическом поле

Слева показано распределение вектора поляризации, справа — наведенный заряд и соответствующее ему электрическое поле, противоположное внешнему.

Задача о сферической полости радиусом а в диэлектрической среде с проницаемостью при внешнем электрическом поле параллельном оси z (фиг. 4.10), решается совершенно аналогично предыдущей.

Фиг. 4.10. Сферическая полость в диэлектрике в однородном внешнем поле.

Фактически, как показывает анализ граничных условий (4.56), чтобы получить решение для полости, достаточно в решении для сферы заменить на . Так, в частности, поле в полости оказывается однородным, параллельным и равным

Аналогично поле вне полости равно сумме приложенного поля и поля диполя, расположенного в центре полости, ориентированного противоположно внешнему полю и имеющего дипольный момент