§ 7. Преобразования Лоренца как ортогональные преобразования в четырехмерном пространстве

Преобразование Лоренца (11.19) и его более общая форма (11.21) являются линейными преобразованиями пространственно-временных координат, при которых остается инвариантной квадратичная форма

    (11.67)

Это свойство напоминает инвариантность известной квадратичной формы при повороте координатных осей в трехмерном пространстве. Действительно, если мы введем четыре пространственно-временные координаты

    (11.68)

то квадратичная форма, инвариантная относительно преобразований Лоренца, приобретет вид

    (11.69)

Это выражение показывает, что преобразования Лоренца являются поворотами в четырехмерном евклидовом пространстве, или, выражаясь точнее, ортогональными преобразованиями в четырех измерениях. Преобразование Лоренца (11.21) можно запирать в общем виде

    (11.70)

где коэффициенты — постоянные величины, характеризующие данное конкретное преобразование. Из инвариантности вытекают

условия ортогональности для коэффициентов а

    (11.71)

Из (11.71) легко вывести, что обратным к (11.70) является преобразование

    (11.72)

и что

    (11.73)

Далее, если мы разрешим четыре уравнения (11.70) относительно и сравним это решение с (11.72), то получим, что детерминант коэффициентов равен единице:

    (11.74)

Собственно говоря, детерминант может быть равен ±1, но выбор знака минус соответствовал бы не простому повороту, а повороту плюс инверсия (зеркальное отражение).

Для выяснения физического смысла приведенных выше формул выпишем явно коэффициенты преобразования а для преобразования Лоренца от системы К к системе движущейся со скоростью v параллельно оси :

    (11.75)

Здесь введены удобные обозначения

    (11.76)

Преобразование (11.70) в координатах (11.68) с коэффициентами (11.75) очевидно, в точности соответствует преобразованию Лоренца (11.19).

Легко убедиться, что преобразование (11.75) можно формально представлять как поворот осей в плоскости изображается, как если бы она была действительной). На фиг. 11.11 показан поворот осей на угол Координаты точки Р в обеих системах координат

связаны соотношениями

    (11.77)

Сравнение коэффициентов в (11.77) с коэффициентами преобразования (11.75) показывает, что угол поворота является мнимым углом, для которого

    (11.78)

Этот результат можно получить непосредственно из (11.77), не привлекая (11.75), если учесть, что точка движется в системе К со скоростью V. Комплексность угла видна и из того, что косинус больше единицы

Фиг. 11.11. Преобразование Лоренца как поворот осей.

Таким образом, представление преобразования Лоренца в виде поворота имеет чисто формальный смысл.

Несмотря на формальный характер диаграммы поворота в плоскости она дает возможность графически представить явления фицджеральд-лоренцовского сокращения и замедления времени. На фиг. 11.12 справа схематически пояснено сокращение длины, а слева — замедление времени. Расстояние в системе К при наблюдении из системы К равно L, поскольку оно представляется горизонтальной линией, соответствующей постоянному времени t в К, Длина L кажется на фиг. 11.12 больше, чем это обусловлено тем, что на самом деле угол мнимый; математически обе длины связаны соотношением

в согласии с (11.22). Аналогично временной интервал в системе К представляется в системе К как интервал

    (11.80)

что согласуется с (11.24).

Иногда при графическом изображении преобразования Лоренца пользуются вместо действительной временной координатой

Фиг. 11.12. Представление замедления времени и фицджеральд-лоренцовского сокращения как поворота пространственно-временных осей координат.

Такое представление называется диаграммой Минковского и имеет то достоинство, что оно оперирует с реальными величинами. Его главный недостаток в том, что масштабы координатных сеток в системах К и К, как это следует из (11.67), определяются гиперболической зависимостью. Интересующегося читателя мы отсылаем к работе Минковского в сборнике [39].