§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике

В гл. 1, § 11, была исследована энергия системы зарядов в свободном пространстве. Полученное выражение для энергии системы

с распределением плотности заряда и потенциалом

не может быть, вообще говоря, принято без изменения при макроскопическом описании диэлектрических сред. Причина этого станет более ясной, если напомнить, как было получено выражение (4.86).

Данное распределение заряда мы представляли себе как результат постепенного накопления элементарных зарядов, которые вносятся из бесконечно удаленной точки, причем преодолевается противодействие электрического поля уже существующего заряда. При этом полная работа, совершенная при накоплении заряда, описывается соотношением (4.86). При наличии диэлектрической среды совершаемая работа тратится не только на перенос свободного (макроскопического) заряда в его окончательное положение, но и на увеличение поляризации диэлектрика. Поэтому если понимать под q и Ф в (4.86) макроскопические величины, то заранее не очевидно, что выражение (4.86) определяет полную затраченную работу, включающую и работу на поляризацию диэлектрика.

Для общности рассмотрения мы вначале не будем делать каких-либо допущений о линейности, однородности и тому подобных свойствах реакции диэлектрика на приложенное поле. Рассмотрим малое изменение энергии обусловленное некоторым изменением распределения плотности заряда Q, существующего во всем пространстве.

Работа, требуемая для совершения этого изменения, равна

где — потенциал, создаваемый уже существующим распределением заряда . Так как , то можно связать с изменением электрической индукции

В результате изменение энергии может быть представлено в виде

где мы воспользовались соотношением и приняли, что описывает ограниченное распределение заряда. Полную электростатическую энергию можно найти, по крайней мере формально, рассмотрев изменение D от начального значения

до некоторой конечной величины

Для линейной среды

и полная электростатическая энергия оказывается равной

Последний результат можно преобразовать к виду (4.86), воспользовавшись соотношениями или же возвращаясь к (4.87) и принимая линейную связь между q и Ф. Таким образом, мы видим, что выражение (4.86) выполняется для макроскопических характеристик лишь в случае линейных сред. В противном случае энергия окончательной конфигурации зарядов должна вычисляться согласно (4.90) и может зависеть от предыстории системы (гистерезис).

Представляет интерес задача об изменении энергии при внесении диэлектрических тел в электрическое поле фиксированных источников. Пусть первоначально электрическое поле создается некоторым распределением зарядов в среде с диэлектрической проницаемостью которая может зависеть от координат. При этом начальная электростатическая энергия равна

где Пусть теперь при фиксированном положении источников в поле вносится диэлектрическое тело объемом что приводит к изменению поля от до Е. При наличии тела диэлектрическая проницаемость равна в объеме и вне Чтобы обойти математические трудности, будем считать функцию достаточно плавной функцией координат, спадающей от до вблизи границы объема V быстро, но непрерывно. При наличии тела величина энергии будет равна

где Разность энергий можно записать в виде

Можно показать, что второй интеграл равен нулю. Действительно, так как то

так что второй интеграл может быть представлен в виде

Интегрирование по частям дает

так как в силу предположения о том, что распределение плотности заряда не изменилось при внесении диэлектрического тела. Таким образом, изменение энергии определяется выражением

Интегрирование, которое, казалось бы, надо распространять на все пространство, в действительности следует проводить лишь по объему занятому телом, так как вне этого объема Таким образом,

Если диэлектрическое тело расположено в свободном пространстве, то Учитывая определение вектора поляризации Р, можно записать (4.95) в виде

где Р — поляризация диэлектрика. Отсюда следует, что плотность энергии в диэлектрике, расположенном в поле источники которого фиксированы, описывается формулой

Это выражение аналогично дипольному члену в разложении (4.17) для энергии распределения зарядов во внешнем поле. Наличие коэффициента 1/2 связано с тем, что (4.97) представляет плотность энергии для поляризуемого диэлектрика во внешнем поле, а не для постоянного диполя. Этот коэффициент имеет то же происхождение, что и в формуле (4.91).

Из выражений (4.95) и (4.96) следует, что при диэлектрическое тело стремится переместиться в область с большим значением поля Для вычисления действующей на тело силы рассмотрим малое обобщенное смещение тела Оно приведет к изменению энергии . Так как распределение зарядов фиксировано, то внешние источники энергии отсутствуют и изменение энергии поля должно компенсироваться изменением механической энергии тела. Это значит, что действующая на тело сила определяется выражением

где индекс Q у частной производной показывает, что источники поля остаются неизменными.

В практических задачах с перемещением диэлектриков электрическое поле часто создается заданной конфигурацией электродов, на которых с помощью внешнего источника, например батареи, поддерживается постоянный потенциал. При перемещении диэлектрика заряд будет течь к батарее или от нее так, чтобы потенциал оставался постоянным. Это означает, что внешний источник в данном случае затрачивает некоторую энергию. Интересно сравнить эту энергию с найденным выше изменением энергии для фиксированных источников поля. Будем рассматривать лишь линейные среды, для которых справедливо выражение (4.86). При этом достаточно рассмотреть лишь малые изменения первоначально существовавшей конфигурации. Как видно из (4.86), изменение энергии, соответствующее изменению плотности заряда и изменению потенциала равно

Сопоставление с выражением (4.87) показывает, что при неизменных свойствах диэлектрика оба слагаемых в (4.99) равны. Если, однако, свойства диэлектрика меняются:

    (4.100)

то слагаемые (4.99) могут быть не равными.

Действительно, мы сейчас нашли изменение энергии, обусловленное введением диэлектрического тела в электрическое поле, создаваемое фиксированными источниками Это изменение энергии объясняется появлением наведенных зарядов. Изменение свойств диэлектрика в соответствии с (4.100) вызывает изменение плотности связанного заряда. Поэтому если интерпретировать соотношение (4.99) как интеграл от плотности и свободного, и свят занного зарядов (т. е. как микроскопическое уравнение), то оба

слагаемых оказываются всегда равными. Однако часто удобно иметь дело с макроскопическими величинами. При этом указанное равенство обоих слагаемых имеет место лишь при неизменных свойствах диэлектрика.

Можно считать, что любой процесс изменения свойств диэлектрика (перемещением диэлектрических тел, изменением их восприимчивостей и т. д.) при заданных потенциалах на электродах совершается в два этапа. На первом этапе электроды отсоединены от батарей и заряд на них поддерживается постоянным Изменение энергии при изменении свойств диэлектрика (4.100) выражается формулой

где — изменение потенциала. Можно показать, что это соотношение приводится к (4.95). На втором этапе батареи подключаются к электродам и на электродах вновь восстанавливается первоначальный потенциал. Изменение потенциала — сопровождается потоком заряда от батареи. Изменение энергии на втором этапе равно

    (4.102)

так как оба слагаемых равны друг другу. Мы видим, что изменение энергии, обусловленное внешними источниками на втором этапе, вдвое больше, чем на первом, и имеет противоположный знак. В результате полное изменение энергии

    (4.103)

Символически можно записать

    (4.104)

где индекс соответствует фиксированному параметру.

Если диэлектрик с вносится в область с большей напряженностью поля, то в случае фиксированных потенциалов энергия возрастает, а не убывает. При этом действующая на тело механическая сила, соответствующая обобщенному смещению равна