§ 4. Сложение скоростей. Аберрация и опыт Физо. Допплеровское смещение

Преобразование Лоренца (11.19) можно использовать и для нахождения закона сложения скоростей. Предположим, что в системе К имеется вектор скорости и, образующий с осью полярные углы и (фиг. 11.8). Система К движется относительно системы К в -направлении со скоростью v. Мы хотим определить составляющие скорости и в системе К. Из преобразования (11.19), или лучше из обратного к нему, мы получаем следующие выражения для дифференциалов

    (11.25)

Отсюда получаем составляющие скорости:

Легко определить также абсолютную величину и углы и скорости и в системе К. Так как , то азимутальные углы совпадают: Далее

Обратное представление через получается перестановкой и изменением знака

Выражения (11.26) и (11.27) показывают, что для скоростей и и v, малых по сравнению со скоростью света, справедлив принцип относительности Галилея:

Фиг. 11.8. Сложение скоростей.

Однако если хотя бы одна из этих скоростей близка к скорости света, то появляются особенности. Скорость, большую скорости света, невозможно получить даже при сложении двух скоростей, каждая из которых близка к с. Для простейшего случая параллельных скоростей закон сложения имеет вид

Если то, согласно (11.28), получаем, что и Этот результат представляет собой явное выражение второго постулата Эйнштейна.

Этот закон сложения скоростей согласуется с явлением аберрации света звезд и с результатами опыта Физо. При рассмотрении аберрации под скоростью и следует понимать скорость света в системе так что является орбитальной скоростью Земли. Угол оказывается связанным с 0 соотношением

Для света звезды, падающего нормально на Землю, и

Угол является дополнительным к углу а в (11.1), и, следовательно, для мы получаем выражение

    (11.31)

полностью согласующееся с наблюдаемым (так как то отличие радикала от единицы лежит далеко за пределами точности наблюдения).

В простейшем варианте опыта Физо поток жидкости имеет скорость v, параллельную или антипараллельную направлению распространения света. Если — показатель преломления жидкости, то свет распространяется относительно жидкости со скоростью Согласно (11.28), скорость света, наблюдаемая в лаборатории, должна быть равна

Последнее выражение является разложением точцого результата до членов первого порядка малости. Оно находится в согласии с формулой Френеля (11.3). Если показатель преломления зависит от длины волны, то в (11.32) появляется дополнительный член, который возникает из-за допплеровского смещения длины волны в движущейся жидкости. Приращение длины волны в движущейся жидкости с точностью до членов первого порядка по равно

    (11.33)

где верхний знак соответствует случаю параллельных, а нижний — случаю антипараллельных скоростей. Следовательно, скорость света в жидкости равна

Таким образом, уточненное выражение (11.32) имеет вид

Добавочное изменение скорости, связанное с дисперсией, наблюдалось экспериментально.

Релятивистскую формулу для допплеровского смещения можно получить из условия инвариантности фазы световой волны. Действительно, фаза любой плоской волны инвариантна относительно преобразований Лоренца, поскольку ее определение может быть сведено к простому счету, не зависящему от координатной системы. Рассмотрим плоскую волну с частотой со и волновым вектором к в системе отсчета К. Пусть наблюдатель, находящийся в точке Р с координатой считает число гребней волн, которые доходят до него за определенное время. Если гребень, который прошел через начало координат при зафиксирован им первым (в момент, когда он дошел до наблюдателя), то к моменту t наблюдатель насчитает

гребней волн. Теперь представим себе другую систему отсчета К, движущуюся относительно системы К со скоростью v, параллельной оси z, причем начала координат этих систем совпадают в мент . Наблюдатель, находящийся в системе К в точке координатой поступает аналогично наблюдателю в К. Он начинает считать, когда его достигает гребень волны, прошедший через начало координат в момент и ведет счет до момента Если точка Р в конце периода счета совмещается с точкой Р, то оба наблюдателя должны насчитать одинаковое количество гребней волн. Поскольку наблюдатель в К насчитает

гребней волн, где к и — волновой вектор и частота плоской волны в то фаза волны действительно является инвариантом. Следовательно,

отсюда, согласно формулам преобразования (11.19),

    (11.36)

Для световых волн . Таким образом, полученный результат можно представить в виде

где — углы векторов и со скоростью v. Последнее из этих соотношений является обратным соотношению (11.29).

Иногда полезно выражение частоты со через угол волны в системе Его можно получить сразу из соотношения, обратного первому соотношению (11.37):

Соктатз (11.38)

Первое соотношение (11.37) дает обычное допплеровское смещение с релятивистской поправкой (корень в знаменателе). Благодаря этой поправке имеет место поперечное допплеровское смещение даже в случае Это релятивистское поперечное допплеровское смещение наблюдалось спектроскопически на движущихся атомах (опыт Айвза — Стилвелла, 1938 г.). Оно было измерено также прецизионным методом резонансного поглощения с помощью ядерного источника у-лучей, помещенного на оси быстро вращающегося цилиндра, с поглотителем, прикрепленным к боковой поверхности цилиндра.