§ 10. Адиабатическая инвариантность магнитного потока сквозь орбиту частицы

В предыдущих параграфах мы рассмотрели движение частицы перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Это движение, обусловленное наличием электрического поля и градиента или кривизны магнитного поля, определяется спецификой лоренцовой силы. Для полноты нашего общего обзора движения частиц в магнитных полях необходимо рассмотреть еще движение вдоль силовых линий. В случае медленно меняющихся полей мощным средством исследования является метод адиабатических инвариантов. В небесной механике и в старой квантовой теории адиабатические инварианты использовались, с одной стороны, при рассмотрении возмущений движения, а с другой — для определения квантующихся величин. Наше рассмотрение более тесно примыкает к задачам небесной механики, поскольку мы интересуемся поведением

заряженных частиц при медленном изменении поля, которое можно рассматривать как малое возмущение однородного статического поля, обсуждавшегося в § 7.

Понятие адиабатической инвариантности связано с интегралом действия механической системы. Если представляют собой соответственно обобщенные канонические координаты и импульсы, то для каждой периодической координаты можно ввести интеграл действия

    (12.119)

Интегрирование здесь производится по полному периоду изменения координаты Для данной механической системы с определенными начальными условиями интегралы действия остаются постоянными. Возникает вопрос, как изменяются интегралы действия, если свойства системы меняются (например, изменяется упругость пружины или масса частицы). Можно показать что если свойства системы изменяются медленно по сравнению с характерным периодом движения (такие изменения называются адиабатическими изменениями) Т то интегралы действия являются инвариантами. Иными словами, если мы будем адиабатически изменять некоторую характеристику механической системы, находящейся в определенном состоянии движения, и в результате через достаточно длительное время получим уже другую механическую систему, то окончательное движение этой последней системы будет таково, что интегралы действия полученной системы будут такими же, как у исходной системы. Очевидно, это свойство интегралов действия весьма ценно при исследовании влияния малых изменений различных параметров системы.

Поперечное движение заряженной частицы в однородном статическом магнитном поле В является периодическим. Интеграл действия для этого поперечного движения равен

    (12.120)

где — поперечная составляющая канонического импульса (12.77), — элемент длины дуги кругового пути частицы. Согласно (12.77),

    (12.121)

Так как скорость параллельна то

    (12.122)

Вычисляя первый интеграл и применяя ко второму интегралу теорему Стокса, находим

    (12.123)

Поскольку линейный элемент в (12.120) направлен против часовой стрелки, если смотреть в направлении В, то единичный вектор антипараллелен В. Следовательно, второй член в (12.123) вычитается из первого, так что

    (12.124)

Здесь использовано соотношение . Величина представляет собой поток магнитного поля сквозь орбиту частицы.

Для частицы, движущейся в области, где напряженность поля медленно изменяется как в пространстве, так и во времени, адиабатическая инвариантность J означает, что магнитный поток, пронизывающий орбиту частицы, остается постоянным. При возрастании В радиус а уменьшается таким образом, что величина сохраняется. Условие постоянства магнитного потока можно различными способами выразить через радиус орбиты частицы, ее поперечный импульс и магнитный момент. Приведем эти адиабатические инварианты:

    (12.125)

Здесь — магнитный момент кругового тока, создаваемого движущейся по орбите частицей. В статическом магнитном лоле скорость частицы постоянна и ее полная энергия не меняется. В этом случае сам магнитный момент является адиабатическим инвариантом. В изменяющихся во времени полях, а также при наличии статического электрического поля является адиабатическим инвариантом только в нерелятивистском приближении.

Рассмотрим теперь простой случай, когда статическое магнитное поле В направлено в основном вдоль оси и медленно растет вдоль этого направления. На фиг. 12.8 показано поведение силовых линий такого поля. Наряду с основной составляющей, направленной вдоль оси поле имеет малую радиальную составляющую, обусловленную искривлением силовых линий. Ограничимся для простоты случаем аксиальной симметрии. Предположим, что частица вращается вокруг оси z с поперечной скоростью по окружности малого радиуса и имеет при где напряженность продольного поля есть скорость параллельную В. Полная

скорость частицы остается неизменной, так что в любой точке вдоль оси

    (12.126)

где — квадрат скорости при . Используя инвариантность потока, мы можем, согласно (12.125), записать

где В — напряженность магнитного поля на оси системы.

Фиг. 12.8.

Отсюда следует, что продольная скорость в произвольной точке оси дается выражением

Уравнение (12.128) для скорости частицы вдоль оси эквивалентна первому интегралу ньютоновского уравнения движения частицы в поле с одномерным потенциалом

При достаточно большом поле правая часть (12.128) обратится в нуль в некоторой точке Это означает, что при движении вдоль поля частица будет вращаться по спирали со все более уменьшающимся расстоянием между витками, а энергия ее продольного движения будет переходить в энергию вращения, пока продольная

скорость не обратится в нуль. Тогда частица повернет обратно и, продолжая вращаться в том же направлении, начнет двигаться в отрицательном направлении оси z. Такое отражение частицы от области сильного магнитного поля схематически показано на фиг. 12.9.

Выражение (12.128) вытекает из условия адиабатической инвариантности величины Для того чтобы показать, что, по крайней мере в первом приближении, эта инвариантность следует непосредственно из уравнения движения, рассмотрим явное решение уравнения движения под действием силы Лоренца.

Фиг. 12.9. Отражение заряженной частицы от области с большой напряженностью магнитного поля.

Если магнитное поле на оси равно то радиальная составляющая поля вблизи оси может быть найдена из уравнения и приближенно равна

    (12.129)

где q — расстояние от оси . Уравнение движения в направлении оси z записывается в виде

где — угловая скорость вращения вокруг оси . С точностью до первого порядка по малому изменению это уравнение можно переписать в виде

где мы использовали приближенное равенство Первым интегралом уравнения (12.131) является

соотношение (12.128), так что с точностью до величин первого порядка малости инвариантность потока сквозь орбиту вытекает непосредственно из уравнений движения.

Адиабатическая инвариантность потока через орбиту частицы играет большую роль при рассмотрении движения частиц в любых пространственно неоднородных магнитных полях. Простой пример, описанный выше, иллюстрирует принцип «магнитных зеркал»: заряженные частицы отражаются от областей сильного магнитного поля.

Фиг. 12.10. Схема установки с магнитными зеркалами для удержания горячей плазмы.

Это свойство поля лежит в основе предложенной Ферми теории ускорения космических заряженных частиц до очень высоких энергий в межзвездном пространстве при столкновении с движущимися магнитными облаками. Магнитные зеркала могут быть применены также для удержания горячей плазмы в термоядерных реакторах. Магнитную ловушку можно создать с помощью продольного магнитного поля, образуемого соленоидом с добавочными катушками на обоих его концах, которые служат для усиления магнитного поля на краях. Силовые линии такого поля показаны на фиг. 12.10. Частицы, создаваемые или инжектируемые в центральной области поля, будут вращаться вокруг силовых линий магнитного поля и отражаться от магнитных зеркал, расположенных на обоих концах установки. Если отношение максимального поля в «магнитной пробке» к полю В в центральной области достаточно велико, то через торцы смогут уйти только частицы, имеющие очень большую составляющую скорости, параллельную оси. Выражение (12.128) показывает, что условием удержания частицы является

выполнение неравенства

Выполнения требования (12.132) легко добиться, соответствующим образом инжектируя частицы в установку. Тогда потери частиц будут определяться интенсивностью процессов рассеяния на атомах остаточного газа и т. п., в результате которых составляющие скорости частицы изменяются и перестают удовлетворять условию (12.132).

Другой областью применения изложенных выше принципов являются вопросы, касающиеся движения частиц в магнитных полях Земли и звезд. Движение заряженных частиц в дипольном магнитном поле Земли или Солнца может быть объяснено с помощью понятий адиабатического инварианта и дрейфовых скоростей, рассмотренных в § 9. Некоторые из этих вопросов отнесены к задачам 12.11 и 12.12, где рассматривается движение частиц в магнитных ловушках, образованных земным магнитным полем (так называемые пояса Ван Аллена).