§ 8. Разложение функций Грина в сферических координатах

Для нахождения потенциала при заданном распределении зарядов и при заданных граничных условиях (т. е. для решения уравнения Пуассона) нужно знать функцию Грина удовлетворяющую соответствующим граничным условиям. Часто эти условия задаются на координатных поверхностях какой-либо системы координат, в которой переменные разделяются, например на сферической или цилиндрической границе. В этом случае удобно представить функцию Грина в виде разложения по функциям, соответствующим

рассматриваемой системе координат. Проиллюстрируем сначала характер применяемых разложений на примере сферических координат.

Для случая, когда граничных поверхностей нет (т. е. граница находится «в бесконечности»), мы уже получили раньше разложение функции Грина [см. (3.70)]:

Предположим, нам нужно найти аналогичное выражение для функции Грина, соответствующей «внешней» задаче для сферы радиусом а. Это выражение легко находится, если исходить выражения (2.22) для функции Грина, получающегося методом изображений. Используя разложение (3.70) для обоих слагаемых в (2.22), получаем

    (3.114)

Чтобы более ясно представить себе структуру разложения (3.114) и убедиться в выполнении граничных условий, выпишем радиальные множители отдельно для

Прежде всего мы видим, что при или радиальный множитель обращается в нуль, как и должно быть. Далее при или радиальный множитель тоже стремится к нулю. Он симметричен относительно Как функция от (при фиксированном ) радиальный множитель представляет собой линейную комбинацию решений радиальной части (3.7) уравнения Лапласа. Правда, эти линейные комбинации различны при и при Причина этого станет нам ясна ниже; она связана с тем, что функция Грина является решением уравнения Пуассона с неоднородностью типа -функции.

Теперь, получив общее представление о разложении функции Грина в разделяющихся координатах, перейдем к систематическому нахождению таких разложений из общих соотношений. Функция Грина для задачи о потенциале удовлетворяет уравнению

    (3.116)

и граничным условиям при или лежащих на граничной поверхности S. Для сферической граничной поверхности будем искать разложение типа (3.114). В соответствии с этим воспользуемся представлением -функции в виде

Используя условие полноты (3.56) для представлений угловой части -функции, найдем

    (3.117)

Рассматривая функцию Грина как функцию от мы можем представить ее в виде разложения

    (3.118)

Подставляя разложения (3.117) и (3.118) в уравнение (3.116), найдем

    (3.119)

и

    (3.120)

Мы видим, что радиальные множители в функции Грина удовлетворяют при однородному уравнению (3.7) для радиальных функций. Поэтому мы можем написать

Коэффициенты . В являются функциями от они определяются граничными условиями, требованием, налагаемым соотношением (3.120) с -функцией в правой части, и условием симметрии функции по Пусть граничные поверхности представляют собой концентрические сферы- радиусами Чтобы функция обращалась в нуль для точек на этих сферах, функция должна быть равна нулю при

и Таким образом, представляется в виде

    (3.121)

Из условия симметрии по следует, что коэффициенты должны быть таковы, чтобы функцию можно было записать следующим образом:

    (3.122)

где — соответственно меньшая и большая из величин Чтобы найти значение постоянной С, мы должны учесть -функцию в (3.120).

Фиг. 3.8. График радиальной функции Грина. В точке наклон кривой претерпевает скачок.

Если обе части (3.120) умножить на и проинтегрировать по интервалу от до , где в очень мало, то получим

Таким образом, наклон кривой претерпевает скачок в точке (фиг. 3.8).

Если в, то Следовательно,

Аналогично найдем

Подставляя эти производные в (3.123), получаем

Соотношения (3.124), (3.122), (3.119) и (3.118) позволяют записать функцию Грина для сферического слоя, ограниченного поверхностями

В двух частных случаях, когда и когда мы опять приходим к (3.70) или (3.114). Чтобы найти функцию Грина для «внутренней» задачи для сферы радиусом 6, достаточно положить в (3.125). Для простой сферы разложение функции Грина проще всего получить, исходя из решения, полученного методом изображений. Однако общую формулу (3.125) для сферического слоя довольно трудно получить методом изображений, так как в этом случае требуется бесконечная совокупность зарядов-изображений.