Глава 4. МУЛЬТИПОЛИ. МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕД. ДИЭЛЕКТРИКИ

В этой главе основное внимание уделяется рассмотрению потенциала, обусловленного ограниченным распределением заряда, и дается его представление в виде разложения по мультиполям. В основном разложение проводится по сферическим гармоникам, но для нескольких первых мультиполей обсуждается их представление и в декартовых координатах. Затем вычисляется энергия мультиполя во внешнем электрическом поле. Путем рассмотрения поведения атомов в приложенном внешнем поле в сочетании с подходящей процедурой усреднения выводятся макроскопические уравнения электростатики. Затем описываются свойства диэлектриков, устанавливаются граничные условия для них и решаются некоторые типичные краевые задачи при наличии диэлектриков. На простых классических моделях иллюстрируются основные свойства диэлектриков: поляризуемость и диэлектрическая восприимчивость. В заключение рассматривается вопрос об электростатической энергии при наличии диэлектриков.

§ 1. Разложение по мультиполям

Ограниченное распределение заряда описывается плотностью заряда отличной от нуля лишь внутри сферы радиусом R с центром в начале отсчета

Потенциал вне сферы можно представить в виде разложения по сферическим гармоникам:

где вид постоянных коэффициентов выбран из соображения удобства при дальнейшем рассмотрении Выражение (4.1) называют обычно разложением по мультиполям; член, соответствующий называется монополем, член с дипольным моментом и т. д. Смысл этих терминов станет ясным из дальнейшего. Задача состоит в том, чтобы выразить постоянные через функцию распределения плотности заряда Искомое решение легко получается с помощью интегрального представления (1.17) для потенциала

и разложения (3.70) для Так как в данном случае нас интересует потенциал вне области, занятой распределением заряда, то следует положить При этом получаем

Таким образом, коэффициенты в (4.1) оказываются равными

Эти коэффициенты называют мулыпипольными моментами. Для их физического истолкования выпишем в явном виде выражения нескольких первых моментов в декартовых координатах:

Здесь выписаны моменты лишь для так как согласно при действительной плотности заряда моменты с можно найти из соотношений

В выражениях (4.4)-(4.6) скаляр q определяет полный заряд, или момент нулевого порядка (монополь), вектор есть электри ческий дипольный момент:

a Q - составляющие тензора квадрупольного момента:

Мы видим, что мультипольные коэффициенты (число которых равно представляются линейной комбинацией декартовых составляющих соответствующих мультиполей. Предоставляем читателю в качестве упражнения провести вывод разложения для потенциала в декартовых координатах:

которое можно получить непосредственно, из разложения в ряд Тейлора. Получение членов разложейия (4.10) выше квадрупольного оказывается гораздо более сложной задачей.

Составляющие вектора напряженности электрического поля, обусловленного данным мультиполем, легче всего выразить в сферических координатах. Взятый со знаком минус градиент члена суммы (4.1), соответствующего фиксированным , имеет следующие составляющие в сферической системе координат:

Функции можно представить как линейные комбинации других функций однако соответствующие выражения не обладают достаточной наглядностью, и поэтому мы их не будем приводить. Векторное мультипольное поле лучше всего представлять с помощью векторных сферических гармоник, как это рассмотрено в гл. 16.

Для диполя , ориентированного вдоль оси z, составляющие поля (4.11) принимают простой вид:

Это поле можно записать в векторной форме, либо исходя из выражений (4.12), либо непосредственно вычисляя градиент от дипольного члена разложения в (4.10). Поле в точке обусловленное диполем , расположенным в точке оказывается равным

где — единичный вектор, направленный из точки в точку