§ 5. Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской границе раздела между диэлектриками

Явления отражения и преломления света на плоской поверхности между двумя средами с различными диэлектрическими свойствами общеизвестны. Характеристики этих явлений можно разбить на два класса:

1. Кинематические характеристики

а) закон отражения: угол падения равен углу отражения;

б) закон преломления Снеллиуса: , где — углы падения и преломления, — соответствующие показатели преломления.

2. Динамические характеристики

а) интенсивность отраженного и преломленного света;

б) изменение фазы и поляризация.

Кинематические характеристики непосредственно вытекают из волновой природы явления и необходимости удовлетворения граничных условий. Они не зависят от конкретного типа волн или вида граничных условий.

Фиг. 7.8. Отражение и преломление на плоской границе раздела двух различных сред. к — падающая волна, к" — отраженная, к — преломленная.

Динамические же характеристики зависят от специфики электромагнитных полей и их граничных условий.

Координатная система и принятые обозначения показаны на фиг. 7.8. Среды, расположенные снизу и сверху от плоскости характеризуются соответственно магнитной и электрической проницаемостями . Плоская волна с волновым вектором к и частотой со падает из среды е. Преломленная волна имеет волновой вектор к, отраженная — волновой вектор единичный вектор нормали, направленный из среды в среду . Согласно (7.18), электрическое и магнитное поля для указанных трех волн можно записать в виде: для падающей волны

для преломленной волны

для отраженной волны

Волновые числа имеют следующую абсолютную величину:

Из наличия граничных условий при которые должны удовлетворяться во всех точках плоскости в любой момент времени, вытекает требование одинаковой зависимости от координат и времени всех полей при Поэтому независимо от характера граничных условий при все фазовые множители должны совпадать:

Соотношение (7.53) дает кинематические характеристики отражения и преломления. Легко видеть, что все три волновых вектора должны лежать в одной плоскости. Далее, в обозначениях фиг. 7.8

    (7.54)

Поскольку то , т. е. угол падения равен углу отражения. Отсюда же следует и закон Снеллиуса:

Динамические характеристики вытекают из граничных условий непрерывности нормальных составляющих D и В и тангенциальных составляющих Е и Н. Для полей (7.49) — (7.51) граничные условия записываются в виде

При применении этих граничных условий удобно рассмотреть отдельно два случая: случай, когда вектор поляризации падающей плоской линейно поляризованной волны перпендикулярен плоскости падения (плоскости, образованной векторами и ), и случай, когда вектор поляризации лежит в плоскости падения. Общий

случай произвольной эллиптической поляризации, как показано в § 2, может быть получен линейной комбинацией этих двух решений.

Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле перпендикулярно плоскости падения (фиг. 7.9). Векторы электрического поля направлены от читателя. Ориентации векторов В выбраны таким образом, чтобы поток энергии был направлен вдоль волновых векторов.

Фиг. 7.9. Отражение и преломление при поляризации, перпендикулярной плоскости падения.

Так как все электрические поля параллельны плоскости раздела, то первое граничное условие (7.56) ничего не дает. Из третьего и четвертого условий (7.56) получаем

Второе условие (7.56) при учете закона Снеллиуса дублирует третье условие. Относительные амплитуды преломленной и отраженной волн определяются соотношениями (7.57).

Таким образом, в случае, когда поле Е перпендикулярно плоскости падения, имеем

Здесь выражения справа справедливы в предположении которое обычно выполняется для оптических частот.

Если электрическое поле параллельно плоскости падения, как показано на фиг. 7.10, то граничные условия содержат нормальную составляющую D и тангенциальные составляющие Е и Н [первое, третье и четвертое условия (7.56)]. Из условия непрерывности тангенциальных составляющих Е и Н получаем

Условие непрерывности нормальной составляющей D в совокупности с законом Снеллиуса приводит к условию, повторяющему второе из этих соотношений.

Фиг. 7.10. Отражение и преломление при поляризации, параллельной плоскости падения.

Из (7.59) вытекают следующие выражения для относительных амплитуд преломленной и отраженной волн для случая, когда поле Е параллельно плоскости падения:

Как и выше, выражения, стоящие справа, справедливы

Для нормального падения обе системы (7.58) и (7.60) сводятся к выражениям

Знак отраженной волны выбран в соответствии с фиг. 7.10 для поляризации, параллельной плоскости падения. При фаза отраженной волны обратна фазе падающей.