§ 4. Векторный потенциал

Основные законы магнитостатики в дифференциальной форме имеют вид

Задача состоит в решении этих уравнений. Если плотность тока в исследуемой области равна нулю, то и мы можем записать вектор магнитной индукции В как градиент магнитного скалярного потенциала: . Уравнения (5.26) сводятся при этом к уравнению Лапласа для для решения которого могут быть использованы все методы, развитые при рассмотрении электростатических задач. Задач такого типа очень много, но мы пока отложим их рассмотрение до конца главы. Дело в том, что граничные условия в данном случае отличаются от принятых в электростатике, причем в магнитостатических задачах обычно приходится иметь дело с макроскопическими средами, магнитные свойства которых не совпадают с характеристиками свободного пространства с зарядами и токами.

В общем случае при решении системы (5.26) исходят из того, что, поскольку во всех точках, индукция В должна быть ротором некоторого вектора называемого векторным потенциалом:

Фактически вектор В уже представлен в такой форме в выражении (5.16). Как очевидно из (5.16), в общем виде вектор А равен

Наличие второго слагаемого — градиента произвольной скалярной функции W — означает, что при заданной магнитной индукции

В векторный потенциал можно всегда преобразовывать согласно соотношению

Указанное преобразование называют обычно калибровочным. Такое преобразование вектора А допустимо, потому что (5.27) определяет лишь ротор А. Для полного же определения векторного поля необходимо знать как его ротор, так и дивергенцию. Возможность калибровочного преобразования позволяет произвольным образом задать .

Подставляя (5.27) в первое из уравнений (5.26), получаем

Воспользовавшись теперь свободой, допускаемой соотношением (5.29), удобно принять При этом каждая декартова составляющая векторного потенциала будет удовлетворять уравнению Пуассона

Учитывая полученные в электростатике результаты, легко видеть, что в неограниченном пространстве А представляется соотношением (5.28) с

Условие может быть объяснено следующим образом. Из принятого соотношения следует, что так как дивергенция от первого слагаемого в (5.28) равна нулю в силу уравнения . Но если во всем пространстве, то функция W тождественно равна нулю.