§ 5. Поток энергии и затухание в волноводах

Общее обсуждение цилиндрических волноводов с произвольной формой поперечного сечения, проведенное в § 3, можно продолжить, рассмотрев также поток энергии вдоль волновода и затухание волн, обусловленное потерями в стенках с конечной проводимостью. Мы ограничимся рассмотрением одного отдельного типа волны; общий случай может быть получен суперпозицией.

Средний по времени поток энергии дается действительной частью комплексного вектора Пойнтинга

Для введенных выше двух типов волн, используя (8.24), найдем

где верхняя строчка соответствует ТМ-волнам, а нижняя — ТЕ-волнам. Так как функция обычно вещественна то поперечная составляющая S представляет лишь реактивный поток энергии и не дает вклада в средний по времени поток энергии. Наоборот, аксиальная составляющая S определяет среднюю плотность потока энергии вдоль волновода. Для получения полного потока мощности Р через сечение волновода проинтегрируем продольную составляющую S по площади поперечного сечения волновода А:

Применяя первую формулу Грина (1.34) к поверхностному интегралу (8.49), мы можем написать Р в виде

где первый интеграл берется по контуру С, ограничивающему поперечное сечение цилиндра. В силу граничных условий (8.36) этот интеграл равен нулю для обоих типов волн. С учетом волнового уравнения (8.34) второй интеграл сводится к нормировочному интегралу для Таким образом, проходящая мощность оказывается равной

где верхняя строчка в фигурных скобках соответствует ТМ-волнам, а нижняя — ТЕ-волнам и явно выделена зависимость от частоты .

Непосредственное вычисление энергии на единицу длины волновода производится аналогично и дает

Сравнивая это выражение с потоком мощности Я, мы видим, что Р и U пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности имеет размерность скорости (скорость потока энергии) и совпадает с групповой скоростью

В последнем легко убедиться, вычисляя из (8.39) в предположении, что диэлектрик, заполняющий волновод, является недиспергирующей средой. Отметим, что групповая скорость всегда меньше скорости волн в неограниченной среде и обращается в нуль при стремлении со к граничной частоте со. Произведение фазовой скорости (8.40) на групповую скорость равно константе

что является прямым следствием соотношения

Наше рассмотрение до сих пор относилось к волноводам с идеально проводящими стенками. Аксиальное волновое число было либо действительным, либо чисто мнимым. Если стенки имеют конечную проводимость, то из-за омических потерь в стенках поток мощности будет затухать вдоль волновода. При большой проводимости стенок к волновому числу добавляется малая мнимая часть

где - волновое число для идеально проводящих стенок. Постоянную затухания можно определить, либо решая заново задачу с граничными условиями, учитывающими конечную проводимость, либо рассчитывая омические потери методом, изложенным в § 1 этой главы, и привлекая закон сохранения энергии. Мы пойдем по второму пути. Поток мощности вдоль волновода определяется выражением

Отсюда постоянная затухания равна

где мощность, расходуемая на омический нагрев на единицу длины волновода. В соответствии с результатами § 1 эта мощность потерь равна

где интегрирование производится по контуру поперечного сечения волновода. Подставляя сюда поля (8.32) и (8.33), получаем

где снова верхняя строчка относится к ТМ-волнам, а нижняя — к ТЕ-волнам.

Так как поперечные производные полностью определяются размером и формой волновода, то (8.59) дает явную зависимость потерь мощности от частоты. Интегралы в выражении (8.59) можно просто оценить, учитывая, что для обоих типов волн справедливо соотношение

Отсюда следует, что (за исключением особых случаев) поперечные производные по порядку величины равны и, следовательно,

Это позволяет связать криволинейные интегралы в (8.59) с интегралом от по площади поперечного сечения. Например,

где С — длина контура, А — площадь поперечного сечения, а — безразмерное число порядка единицы. Таким образом, не конкретизируя форму волновода, мы можем найти порядок величины постоянной затухания (3, и ее зависимость от частоты. Используя (8.59), (8.62) и (8.51), а также зависимость толщины скин-слоя

(7.85) от частоты, получаем

здесь а — проводимость (которая предполагается не зависящей от частоты), — толщина скин-слоя при граничной частоте безразмерные числа порядка единицы. Для ТМ-волн

Фиг. 8.6. Зависимость постоянной затухания от частоты для типичных ТЕ- и ТМ-волн. Для ТМ-волн минимум затухания достигается при независимо от формы поперечного сечения.

Зависимость постоянной затухания от частоты показана на фиг. 8.6. При со она стремится к бесконечности (из-за обращения в нуль потока мощности Р), достигает минимума при частоте порядка нескольких и затем снова возрастает примерно пропорционально при Для ТМ-волн минимум поглощения лежит при сомин независимо от формы волновода. Для ТЕ-волн отношение величин зависит от формы волновода и от . Поэтому нельзя в общем случае указать частоту, при которой затухание будет минимальным. В микроволновом диапазоне характерные значения постоянной затухания для меди соответствуют уменьшению мощности потока в раз на длине т. е. затуханию

При заданной форме поперечного сечения волновода безразмерные константы входящие в (8.63), легко вычисляются. Для ТЕ-волн в прямоугольном волноводе имеем

где использованы обозначения из § 4 и Соответствующие выражения для ТЕ-волн с имеют вид

Мы видим, что при разумных соотношениях между а и b эти параметры имеют порядок единицы независимо от величин тип. Расчет параметров для ТМ-волн мы предоставляем читателю в качестве упражнения. Другие формы поперечного сечения рассматриваются в задачах к этой главе.

В реальных случаях затухание волн связано также и с потерями в диэлектрике, заполняющем волновод. Если поглощающая способность диэлектрика известна, то это дополнительное затухание может быть найдено методом, аналогичным использованному при определении потерь в стенках волновода.