§ 2. Уравнение Лежандра и полиномы Лежандра

В уравнении для обычно переходят от переменной к переменной Тогда уравнение принимает вид

Это уравнение называется обобщенным уравнением Лежандра, а его решения — присоединенными функциями Лежандра. Прежде чем анализировать уравнение (3.9), найдем решение в виде степенного ряда для обыкновенного дифференциального уравнения Лежандра, соответствующего

Для того чтобы искомое решение имело физический смысл электростатического потенциала, оно должно быть однозначно, конечно и непрерывно в интервале. Будем искать решение в виде ряда

где а — пока не определенный параметр. Подставляя это разложение в (3.10), получаем ряд

В этом разложении коэффициенты перед всеми степенями должны в отдельности обращаться в нуль. Для отсюда следует, что:

Для остальных j получаем соотношение

Как легко видеть, оба соотношения (3.13) эквивалентны, и достаточно считать, что лишь один из коэффициентов отличен от нуля. Считая мы получаем для а два значения: Из (3.14) следует, что разложение в ряд содержит только четные степени (при или только нечетные степени (при

Можно показать, что оба полученных ряда (соответствующие ) обладают следующими свойствами:

а) ряд сходится при при всех значениях

б) ряд расходится при если только он не обрывается.

Поскольку мы ищем решение, которое конечно при так же как и при необходимо потребовать, чтобы ряд обрывался. Так как а и j — целые неотрицательные числа или нуль, то из рекуррентной формулы (3.14) следует, что ряд обрывается лишь в том случае, когда I равно нулю или положительному целому числу. Но и в этом случае лишь один из двух рядов будет конечен при Если I четно, то конечен ряд для если нечетно, то конечен ряд для В обоих случаях старший: член пропорционален следующий 2 и т. д. до при четном или до при нечетном Эти многочлены принято нормировать так, чтобы при они обращались в единицу. Они называются полиномами Лежандра порядка Приведем несколько первых полиномов Лежандра:

Исходя из формул (3.11) и (3.14), полиномы Лежандра, представляемые в виде разложения по степеням можно преобразовать к весьма компактному виду, известному под названием формулы Родрига:

Эта формула может быть получена и другим, более изящным путем, в частности с помощью -кратного интегрирования уравнения (3.10).

Полиномы Лежандра образуют полную систему функций, ортогональных на интервале . Для доказательства ортогональности

можно использовать непосредственно дифференциальное уравнение (3.10). Напишем дифференциальное уравнение для умножим его на и проинтегрируем по интервалу

Интегрируя первый член по частям, находим

Вычитая из (3.18) такое же равенство с заменой I на и наоборот, приходим к условию ортогональности

При входящий в (3.19) интеграл должен быть равен нулю, а при он будет конечным. Чтобы вычислить значение этого интеграла, нужно воспользоваться явным представлением полиномов Лежандра, например формулой Родрига. При этом интеграл принимает вид

Интегрируя l раз по частям, получаем

В результате -кратного дифференцирования величины получим константу так что

    (3.20)

Легко показать, что интеграл в (3.20) равен следовательно, условие ортогональности можно записать так:

а ортонормированные функции (см. гл. 2, § 9) имеют вид

Поскольку полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций, любая функция может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра на

Фиг. 3.2.

Это разложение имеет вид

где

Рассмотрим для примера функцию, изображенную на фиг. 3.2:

В этом случае

Поскольку при нечетных полином нечетен относительно а при четных четен, отличны от нудя только коэффициенты с нечетным Таким образом, для нечетных имеем

Вычисляя последний интеграл с помощью формулы Родрига, найдем

где Таким образом, ряд для имеет вид

Полиномы Лежандра различного порядка связаны определенными рекуррентными соотношениями, которые оказываются весьма полезными при вычислении интегралов, нахождении полиномов высокого порядка по полиномам низкого порядка и т. п. Из формулы Родрига легко вывести соотношение

Комбинируя это соотношение с дифференциальным уравнением (3.10), можно получить целый ряд рекуррентных формул, например:

Для иллюстрации применения этих рекуррентных соотношений вычислим интеграл

Из первой формулы (3.29) найдем выражение для Подставляя его в (3.30), приведем интеграл к виду

Из условия ортогональности (3.21) следует, что интеграл отличен от нуля лишь при и равен при этом

Правые части в (3.31) фактически одинаковы, отличаясь лишь заменой I на Аналогично можно показать, что

где предполагается, что