§ 9. Дрейф частиц в неоднородном статическом магнитном поле

В астрофизических и термоядерных задачах значительный интерес представляет поведение частиц в магнитном поле, меняющемся в пространстве. Часто это изменение достаточно слабое, и хорошим приближением является решение уравнений движения методом возмущений, впервые полученное Альфвеном. Термин «достаточно слабое» означает, что расстояние, на котором В существенно изменяется по величине или по направлению, велико по сравнению с радиусом а вращения частицы. В этом случае в нулевом приближении можно считать, что частицы движутся по спирали вокруг силовых линий магнитного поля с частотой вращения, определяемой

локальной величиной магнитного поля. В следующем приближении появляются медленные изменения орбиты, которые можно представить в виде дрейфа их ведущего центра (центра вращения).

Первым типом пространственного изменения поля, которое мы рассмотрим, является изменение в направлении, перпендикулярном В. Пусть имеется градиент величины поля в направлении единичного вектора , перпендикулярного В, так что . Тогда в первом приближении частоту вращения можно записать в виде

    (12.102)

здесь — координата в направлении и разложение производится в окрестности начала координат, для которого Поскольку В не меняется по направлению, движение вдоль В остается равномерным. Поэтому мы рассмотрим только изменение поперечного движения. Записав в виде , где — поперечная скорость в однородном поле, a -малая поправка, подставим (12.102) в уравнение движения

    (12.103)

Тогда, удерживая только члены первого порядка, получаем приближенное уравнение

Из соотношений (12.95) и (12.96) вытекает, что в однородном поле поперечная скорость и координата связаны соотношениями

    (12.105)

где X — координата центра вращения в невозмущенном круговом движении (здесь Если в (12.104) выразить через то получим

    (12.106)

Это выражение показывает, что, помимо осциллирующего слагаемого, имеет отличное от нуля среднее значение, равное

    (12.107)

Для определения средней величины достаточно учесть, что декартовы составляющие изменяются синусоидально с амплитудой а и сдвигом фазы 90°. Поэтому на среднее значение влияет лишь составляющая параллельная , так что

    (12.108)

Таким образом, «градиентная» дрейфовая скорость дается выражением

    (12.109)

или в векторной форме

Выражение (12.110) показывает, что при достаточно малых градиентах поля, когда дрейфовая скорость мала по сравнению с орбитальной скоростью .

Фиг. 12.6. Дрейф заряженных частиц, обусловленный поперечным градиентом магнитного поля.

При этом частица быстро вращается вокруг ведущего центра, который медленно движется в направлении, перпендикулярном В и grad В. Направление дрейфа положительной частицы определяется выражением (12.110). Для отрицательно заряженной частицы дрейфовая скорость имеет противоположный знак; это изменение знака связано с определением Градиентный дрейф можно качественно объяснить, рассматривая изменение радиуса кривизны траектории при движении частицы в областях, где величина напряженности поля больше и меньше средней. На фиг. 12.6 качественно показано поведение частиц с различными знаками заряда.

Другим типом изменения поля, приводящим к дрейфу ведущего центра частицы, является кривизна силовых линий. Рассмотрим изображенное на фиг. 12.7 двумерное поле, не зависящее от . На фиг. 12.7, а показано однородное магнитное поле параллельное оси Частица вращается вокруг силовой линии по окружности радиусом а со скоростью и одновременно движется с постоянной скоростью вдоль силовой линии. Мы будем рассматривать это движение в качестве нулевого приближения для движения частицы в поле с искривленными силовыми линиями, показанном на фиг. 12.7,б, где локальный радиус кривизны силовых линий R велик по сравнению с а.

Фиг. 12.7. Дрейф заряженных частиц, обусловленный кривизной силовых линий. а — в постоянном однородном магнитном поле частица движется по спирали вдоль силовых линий; б — кривизна силовых линий магнитного поля вызывает дрейф, перпендикулярный плоскости

Поправку первого приближения можно найти следующим образом. Поскольку частица стремится двигаться по спирали вокруг силовой линии, а силовая линия изогнута, то для движения ведущего центра это эквивалентно появлению центробежного ускорения Можно считать, что это ускорение возникает под действием эффективного электрического поля

    (12.111)

как бы добавленного к магнитному полю . Но, согласно (12.98), комбинация такого эффективного электрического поля и магнитного поля приводит к центробежному дрейфу со скоростью

    (121,2)

Используя обозначение запишем выражение для скорости центробежного дрейфа в виде

Направление дрейфа определяется векторным произведением, в котором R представляет собой радиус-вектор, направленный от центра кривизны к точке нахождения частицы. Знак в (12.113) соответствует положительному заряду частицы и не зависит от знака Для отрицательной частицы величина становится отрицательной и направление дрейфа меняется на обратное.

Более аккуратный, но менее изящный вывод соотношения (12.113) можно получить непосредственным решением уравнений движения. Если ввести цилиндрические координаты с началом координат в центре кривизны (см. фиг. 12.7,б), то магнитное поле будет иметь только -составляющую Легко показать, что векторное уравнение движения сводится к следующим трем скалярным уравнениям:

    (12-114)

Если в нулевом приближении траектория представляет собой спираль с радиусом а, малым по сравнению с радиусом кривизны то в низшем порядке Поэтому из первого уравнения (12.114) получаем следующее приближенное выражение

Это выражение совпадает с формулой (12.113) для центробежного дрейфа.

Для области пространства, где нет токов, градиентный дрейф и центробежный дрейф можно объединить в одной простой общей формуле. Действительно, при условии имеет место равенство

    (12.116)

Отсюда следует, что сумма и у с дает общую дрейфовую скорость

где поперечная скорость вращения. Для однократно заряженных нерелятивистских частиц, находящихся в тепловом равновесии, получаем, что

Дрейф частиц (12.117) является помехой в некоторых типах термоядерных установок, сооружаемых для получения ограниченной конфигурации горячей плазмы. Одна из таких установок представляет собой тороидальную камеру с сильным продольным полем, создаваемым соленоидом, навитым на тор. При типичных параметрах гаусс частицы плазмы с температурой имеют дрейфовую скорость см/сек. Это означает, что за малую долю секунды они вследствие дрейфа выйдут на стенки камеры. Для более горячей плазмы скорость дрейфа соответственно еще больше. Одним из способов компенсации дрейфа при тороидальной геометрии является изгибание тора в виде восьмерки. Так как частица обычно совершает много оборотов внутри такой замкнутой системы, то она проходит области, где как кривизна, так и градиент имеют различные знаки, и дрейфует поочередно в различных направлениях. Поэтому по крайней мере в первом порядке по результирующий средний дрейф оказывается равным нулю. Такой метод исключения дрейфа, обусловленного пространственным изменением магнитного поля, применяется в термоядерных установках типа стелларатора. Удержание плазмы в таких установках в отличие от установок, использующих пинч-эффект (см. гл. 10, § 5—7), осуществляется с помощью сильного внешнего продольного магнитного поля.