§ 3. Магнитные диполъные и электрические квадрупольные поля

Следующий член в разложении (9.8) приводит к векторному потенциалу

Это выражение можно представить в виде суммы двух членов, один из которых дает поперечное магнитное поле, а другой — поперечное электрическое поле. Эти физически различные компоненты можно разделить, записывая подынтегральное выражение в (9.30) в виде суммы симметричной и антисимметричной по J и частей:

Вторая, антисимметричная часть, очевидно, связана с намагниченностью, обусловленной током:

Первый, симметричный член, как будет показано ниже, связан с электрическим квадрупольным моментом.

Рассматривая только магнитный член, получаем

где m — магнитный дипольный момент

Переходя к вычислению полей, заметим, что векторный потенциал (9.33) с точностью до множителя равен магнитному полю (9.18) электрического диполя, если m заменить на . Поэтому магнитное поле магнитного диполя будет равно электрическому полю электрического диполя с заменой Таким образом, получаем

Аналогично электрическое поле магнитного диполя равно взятому с обратным знаком магнитному полю электрического диполя:

Все выводы, относящиеся к поведению полей в ближней и дальней зонах, остаются теми же, что и для электрического дипольного источника, если только заменить Аналогично распределение излучения и полная излучаемая мощность для обоих диполей одинаковы. Единственное различие полей излучения связано с их поляризацией. Для электрического диполя электрический вектор лежит в плоскости, образованной векторами , в то время как для магнитного диполя он перпендикулярен плоскости, проходящей через пит.

Интеграл от симметричного члена в (9.31) после интегрирования по частям и некоторых преобразований приводится к виду

Здесь заменена на согласно уравнению непрерывности (9.15). Так как этот интеграл содержит второй момент плотности заряда, то, следовательно, он соответствует электрическому квадрупольному источнику. Векторный потенциал имеет вид

Выражения для полей в общем случае довольно сложны, и мы не будем их выписывать, ограничившись лишь рассмотрением полей в волновой зоне. Тогда легко видеть, что

Таким образом, для магнитного поля получаем

Используя определение (4.9) тензора квадрупольного момента

можно записать интеграл в (9.40) в виде

где вектор определяется соотношением

Заметим, что его величина и направление зависят как от направления наблюдения, так и от свойств источника. В этих обозначениях магнитное поле запишется в виде

а средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол, — в виде

Угловое распределение имеет довольно сложный характер. Однако полная мощность излучения вычисляется непосредственно.

Учитывая определение , представим угловую зависимость в виде

Вычисление угловых интегралов от произведений прямоугольных составляющих дает

откуда

Так как сумма элементов тензора стоящих на главной диагонали, равна нулю, первый член в квадратных скобках тождественно обращается в нуль. Отсюда получается окончательное выражение для полной мощности излучения квадрупольного источника

При заданном квадрупольном моменте излучаемая мощность пропорциональна шестой степени частоты в отличие от дипольного излучения, где она пропорциональна четвертой степени частоты.

Простым примером квадрупольного источника является осциллирующее сфероидальное распределение зарядов. В этом случае недиагональные элементы равны нулю, а диагональные элементы можно представить как

При этом угловое распределение излучаемой мощности будет иметь вид

Соответствующая четырехлепестковая диаграмма излучения показана на фиг. 9.2. Ее максимумы расположены при и

Полная мощность излучения такого квадруполя равна

Если мы продолжим наше рассмотрение разложения (9.8) и перейдем к высшим членам разложения векторного потенциала, то вычислительные трудности непомерно возрастут. Кроме того, такой подход обладает тем недостатком, что физически ясные члены, как, например, поле магнитного диполя или электрического квадруполя, приходится искусственно выделять из отдельных слагаемых в (9.8).

Фиг. 9.2. Угловое распределение излучения квадруполя.

Наконец, развитый выше метод применим лишь для достаточно длинных волн. Систематический анализ мультипольного излучения будет дан в гл. 16. Для этого потребуется разработать специальный математический аппарат, что, однако, окупит себя впоследствии. Этот метод позволит единообразно рассмотреть все мультипольные члены, причем результаты применимы для любых длин волн, а физически различные электрические и магнитные мультиполи разделяются с самого начала.