§ 11. Потенциальная энергия и плотность энергии электростатического поля

В § 5 было показано, что произведение скалярного потенциала на величину точечного заряда можно интерпретировать как потенциальную энергию этого заряда. Более точно, если точечный заряд внести из бесконечности в точку находящуюся в области, где имеется электрическое поле, описываемое скалярным потенциалом Ф (обращающимся в нуль на бесконечности), то работа, совершаемая при перемещении заряда (а следовательно, и потенциальная энергия заряда), равна

Считая, что потенциал Ф создается системой зарядов находящихся в точках получаем

так что потенциальная энергия заряда равна

Очевидно, полная потенциальная энергия всей системы зарядов, обусловленная силами их взаимодействия, равна

в чем можно убедиться последовательным добавлением по одному заряду к системе. Это выражение можно записать в более симметричной форме, сняв ограничение при суммировании и поделив сумму на 2:

при этом подразумевается, что члены с в двойной сумме (соответствующие бесконечной «собственной» энергии точечных зарядов) опускаются.

Для непрерывного распределения зарядов потенциальная энергия принимает вид

Это выражение можно считать справедливым и в общем случае, если воспользоваться -функцией Дирака (1.6). Другое выражение, эквивалентное (1.52), можно получить, если учесть, что внутренний интеграл в (1.52) как раз равен скалярному потенциалу (1.17). Следовательно, мы можем написать

В выражениях (1.51) — (1.53) электростатическая потенциальная энергия представлена как функция положения зарядов; это подчеркивает, что взаимодействие зарядов описывается законом Кулона. Возможен иной подход, при котором энергия выражается через электрическое поле; тем самым подчеркивается идея о локализации энергии в пространстве, окружающем заряды. Чтобы получить такое выражение для энергии, исключим с помощью уравнения Пуассона плотность зарядов из (1.53)

Интегрируя по частям, получаем

где интегрирование производится по всему пространству. В (1.54) распределение зарядов явно не входит; энергия выражается через интеграл от квадрата электрического поля по всему пространству.

Поэтому естественно отождествить подынтегральное выражение с плотностью энергии

Это выражение для плотности энергии согласуется с интуитивным представлением о том, что в областях с большим полем энергия «должна» быть больше.

Выражение (1.55) для плотности энергии может показаться странным в одном отношении. Оно всегда положительно определено, так что и объемный интеграл (1.54) всегда будет неотрицателен.

Фиг. 1.8.

Это, казалось бы, противоречит тому факту, что, согласно (1.51), потенциальная энергия системы двух зарядов противоположного знака отрицательна. Причина этого кажущегося противоречия заключается в том, что выражения (1.54) и (1.55) включают и «собственную» энергию зарядов, тогда как (1.51) не включает ее. Рассмотрим, например, два точечных заряда и находящихся в точках (фиг. 1.8). Электрическое поле в точке Р с радиусом-вектором равно

так что плотность энергии составляет

Два первых слагаемых соответствуют, очевидно, собственной энергии зарядов Чтобы убедиться, что третье слагаемое дает правильное выражение для потенциальной энергии взаимодействия, проинтегрируем его по всему пространству:

Переходя к переменной получаем

где n — единичный вектор в направлении вектора Непосредственным интегрированием можно убедиться, что входящий в последнее выражение безразмерный интеграл равен так что Мы получаем ожидаемое выражение для энергии взаимодействия.

Силы взаимодействия заряженных тел можно найти, определив изменение полной электростатической энергии системы при малых виртуальных перемещениях. Несколько примеров такого рода расчетов приведено ниже (см. задачи к гл. 1). При этом энергию нужно представить в таком виде, чтобы было видно, какие члены меняются при изменении конфигурации и какие остаются постоянными;

В качестве простейшего примера рассчитаем силу, действующую на единицу поверхности проводника с поверхностной плотностью заряда а Вблизи поверхности проводника плотность энергии

Пусть теперь элемент поверхности проводника Да смещается на величину наружу. Тогда электростатическая энергия уменьшается на величину, равную произведению плотности энергии w на исключаемый объем

Это означает, что на единичную площадку на поверхности проводника действует сила, равная направленная из проводника наружу. Обычно это выражение для силы находят как произведение поверхностной плотности заряда а на электрическое поле, причем при нахождении последнего следует исключить поле, создаваемое самим рассматриваемым элементом поверхности.