§ 6. Собственное время и световой конус

В предыдущих параграфах был рассмотрен ряд следствий специальной теории относительности и преобразований Лоренца. В следующих двух параграфах мы рассмотрим некоторые более формальные аспекты теории и введем ряд понятий и определений, весьма полезных при систематическом анализе физических явлений в специальной теории относительности.

При галилеевской относительности пространственные и временное координаты никак не связаны. Поэтому при преобразовании Галилея бесконечно малые элементы длины и интервалы времени порознь инвариантны

    (11.59)

Наоборот, при преобразовании Лоренца временные и пространственные координаты взаимосвязаны. Из (11.21) легко показать, что инвариантным элементом «длины» является величина

    (11.60)

Это приводит к понятию собственного времени, инвариантного относительно преобразований Лоренца. Рассмотрим систему, которую мы для определенности будем считать частицей, движущейся с мгновенной скоростью относительно некоторой координатной системы . В системе координат которой частица в данный момент покоится, приращения координат и времени суть . Отсюда получаем инвариантную длину (11.60):

    (11.61)

Это соотношение можно записать через скорость частицы

    (11.62)

Соотношение (11.62) выражает рассмотренный выше эффект замедления времени. Однако более существенно то обстоятельство, что, как видно из вывода (11.62), время , называемое собственным временем частицы, инвариантно относительно преобразования Лоренца. Важность этого понятия выяснится ниже, когда мы начнем рассматривать скорости изменения различных величин. Если некоторая величина ведет себя определенным образом при лоренцовском преобразовании, то ее производная по собственному времени вследствие инвариантности ведет себя таким же образом. Производная же по обычному времени не имеет тех же трансформационных свойств, что сама величина. Из (11.62) следует, что интервал собственного времени — воспринимается в системе К как интервал времени

    (11.63)

где — соответствующие времена в системе К.

Другим плодотворным понятием в специальной теории относительности является понятие светового конуса и пространственноподобного и времениподобного интервалов между двумя событиями. Рассмотрим фиг. 11.10, на которой ось времени (ось ) вертикальна, а пространственные оси перпендикулярны оси времени. Пусть в момент некоторая физическая система, скажем частица, находится в начале координат. Поскольку скорость света является верхней границей для всех скоростей, то всю область пространства—времени можно разделить на три области «конусом», называемым световым конусом, поверхность которого определяется уравнением Световой сигнал, испущенный при из начала координат, будет распространяться вдоль линий, образующих на фиг. 11.10 угол 45° с осью времени. Но любая материальная система имеет скорость меньше с. Следовательно, с течением времени она может перемещаться лишь по пути (называемому ее мировой линией), расположенному внутри верхнего полу конуса, как, например, кривая ОВ. Так как пути систем лежат внутри верхнего полуконуса при то эта область называется областью абсолютно будущего. Аналогично область, лежащая внутри нижнего полуконуса, называется областью абсолютно прошлого. Физическая система может прийти в точку О только по пути типа АО, лежащему внутри нижнего полуконуса. Заштрихованная область вне светового конуса называется абсолютно удаленной областью. Система, находящаяся внутри абсолютно

удаленной области, никогда не достигнет точки О, и, наоборот, система из точки О никогда не может попасть внутрь абсолютно удаленной области.

Фиг. 11.10. Мировая линия системы и световой конус. Нижняя незаштрихованная область внутри конуса соответствует абсолютно прошлому, верхняя — абсолютно будущему, а заштрихованная область вне конуса называется «абсолютно удаленной». Точки, лежащие внутри светового конуса, отделены от начала координат времениподобным интервалом, точки вне конуса отделены пространственноподобным интервалом.

Чтобы подчеркнуть разделение пространства — времени на области абсолютно прошлого, абсолютно будущего и абсолютно удаленного, рассмотрим инвариантный интервал между двумя событиями в пространстве — времени:

    (11.64)

Для произвольных двух событий имеются две возможности: либо либо Если то говорят, что данные два события разделены пространственноподобным интервалом, поскольку при этом всегда можно найти преобразование Лоренца к новой системе координат К, в которой и

В этой новой системе оба события происходят в различных точках пространства в один и тот же момент времени. На фиг. 11.10 одно из таких событий изображается точкой О, а второе расположено в абсолютно удаленной области. Если то говорят, что события разделены времениподобным интервалом. При этом можно найти преобразование Лоренца, совмещающее пространственные координаты событий:

    (11.66)

В этой новой системе координат К рассматриваемые события происходят в одной и той же точке пространства, но разделены во времени. На фиг. 11.10 такая пара событий соответствует одной точке

в начале координат, а другой — расположенной в области абсолютно прошлого или абсолютно будущего.

Разделение интервалов между двумя событиями на два класса пространственноподобных и времениподобных инвариантно относительно преобразований Лоренца. Два события, разделенные пространственноподобным интервалом в одной системе координат, разделены пространственноподобным интервалом и во всех других системах координат. Это означает, что такие события не могут быть причинно связанными. Поскольку физическое взаимодействие распространяется из одной точки в другую со скоростью, не превышающей скорость света, то причинно связанными могут быть только события, разделенные времениподобным интервалом. На событие, которое произошло в начале координат на фиг. 11.10, могли повлиять лишь события, соответствующие точкам в области абсолютно прошлого.