§ 10. Рассеяние коротких волн проводящей сферой

Другим типом дифракционных задач является расчет рассеяния волн на препятствиях. Мы рассмотрим рассеяние плоской электромагнитной волны на идеально проводящем препятствии, размеры которого велики по сравнению с длиной волны. Для тонкого плоского препятствия можно применить метод, изложенный в § 8, возможно, в сочетании с принципом Бабине. Однако для препятствий иной формы необходимо исходить из векторной теоремы (9.77). Если мы ограничимся лишь полями в волновой зоне , то выражение (9.77) для рассеянного поля примет вид

    (9.115)

где к — волновой вектор рассеянной волны, — поверхность

препятствия. Несколько проще рассчитывается магнитное поле

    (9.116)

Поскольку мы не знаем точных значений полей на поверхности препятствия, приходится делать некоторые допущения. Для малых по сравнению с размерами препятствия длин волн поверхность можно приближенно разделить на освещенную и теневую области. Граница между этими областями является резкой только в предельном случае геометрической оптики. Можно показать, что переходная область имеет ширину порядка , где R — характерный радиус кривизны поверхности. Так как R имеет величину порядка размеров препятствия, то для достаточно коротких волн приближенно выполняются условия применимости геометрической оптики. В области тени рассеянное поле у поверхности должно быть почти равно по величине и противоположно по направлению падающему полю. В освещенной области тангенциальная составляющая электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля на поверхности должны быть равны и противоположно направлены по отношению к соответствующим составляющим падающего поля (чтобы удовлетворялись граничные условия на поверхности идеально проводящего препятствия). С другой стороны, тангенциальная составляющая и нормальная составляющая в освещенной области должны быть приближенно равны соответствующим составляющим в падающей волне (как и в случае бесконечной плоской проводящей пластины) в силу принятого предположения о малости длины волны по сравнению с радиусом кривизны поверхности. Таким образом, мы получаем следующие приближенные значения рассеянных полей на поверхности препятствия:

где — поля падающей волны. Используя эти граничные значения, мы можем следующим образом записать выражение

(9.116) для магнитного поля:

    (9.117)

Здесь

    (9.118)

и

    (9.119)

соответственно интегралы по теневой и освещенной областям. Если падает плоская волна с волновым вектором т. е.

то интегралы по теневой и освещенной областям поверхности препятствия принимают вид

Эти интегралы по-разному зависят от угла рассеяния. В предельном случае коротких волн величины велики по сравнению с единицей. Поэтому экспоненциальные множители в (9.121) быстро меняются, и, следовательно, средние значения подынтегральных выражений очень малы для всех направлений, кроме к . В направлении к вторые члены в несущественны, поскольку рассеянное поле (9.117) пропорционально Таким образом, поведение рассеянного поля, по крайней мере в прямом направлении, определяется первыми членами выражения (9.121). Мы видим, что пропорциональны соответственно ), поэтому интеграл по области тени конечен, а интеграл по освещенной области стремится к нулю. При отклонении угла рассеяния от направления падающей волны интеграл по области тени быстро стремится к нулю как из-за экспоненциального множителя, так и из-за векторного множителя в подынтегральном выражении. Наоборот, интеграл по освещенной области мал в прямом направлении; по-видимому, он должен быть малым и для всех других направлений благодаря тому, что экспоненциальный и векторный множители

меняются в противоположных направлениях. Очевидно, интеграл по области тени дает дифрагированное поле, а интеграл по освещенной области дает отраженную волну.

Чтобы продвинуться дальше, мы должны конкретизировать форму препятствия. Пусть препятствием является идеально проводящая сфера радиусом а. Так как интеграл по области тени имеет заметную величину только в направлении падения волны, мы при его вычислении положим приближенно всюду, кроме показателя экспоненты. Отбрасывая второй член в (9.121) и используя сферические координаты на поверхности сферы, получаем

    (9.122)

Углы — сферические угловые координаты векторов кип, отсчитываемые от направления Экспоненту, содержащую в показателе множитель можно для малых углов положить равной единице. В результате интегрирования по получаем . Следовательно,

    (9.123)

где приближенно заменен на . Интеграл по а легко берется, так как

Таким образом, для интеграла по области тени получаем

    (9.124)

Мы видим, что рассеянное поле, по существу, совпадает с дифракционным полем для круглого отверстия [см. (9.102)].

Несколько сложнее вычисляется интеграл по освещенной области, дающий отраженное поле. Здесь мы должны рассматривать произвольные углы рассеяния, поскольку усиления в прямом направлении теперь не происходит. Интеграл содержит сравнительно медленно меняющуюся векторную функцию, умноженную на быстро меняющуюся экспоненту. Как известно, основной вклад

в такой интеграл дает область интегрирования, в которой фаза экспоненты стационарна. Эта фаза равна

    (9.125)

Легко видеть, что точка экстремума фазы соответствует углам

    (9.126)

Это, очевидно, углы отражения от сферы по законам геометрической оптики. В точке экстремума единичный вектор направлен вдоль . Разложение фазы в окрестности имеет вид

    (9.127)

где Для расчета интеграла (9.121) можно приближенно в предэкспоненциальном множителе положить тогда

    (9.128)

здесь — единичный вектор в направлении . При не слишком малом 0 члены с экспонентами очень быстро осциллируют при больших х и у. Поэтому мы не сделаем существенной ошибки, если в обоих интегралах будем интегрировать по бесконечному интервалу от до Используя формулу

    (9.129)

получаем

    (9.130)

После некоторых преобразований вклад в рассеянное поле от интеграла по освещенной части сферы можно представить в виде

    (9.131)

Направление вектора поляризации еосв показано на фиг. 9.13. Если вектор поляризации падающей волны образует угол

с нормалью к плоскости, содержащей волновые векторы к и то азимутальный угол у вектора отсчитываемый от плоскости, содержащей к и равен Заметим, что амплитуда отраженного поля (9.131) не зависит от угла отражения, хотя его фаза — быстро меняющаяся функция угла.

Фиг. 9.13. Поляризация отраженной волны по отношению к падающей.

Рассеянное электрическое поле, обусловленное интегрированием по области тени, согласно (9.124) и (9.117), запишется как

    (9.132)

Сравнение выражений (9.131) и (9.132) показывает, что в прямом направлении «теневое» поле больше в раз. Однако для углов «теневое» поле становится очень малым, и доминирующим оказывается изотропное отраженное поле. Мощность, рассеиваемую в единицу телесного угла, можно представить в виде

где — поток мощности падающей волны, приходящийся на сечение сферы При малых углах рассеяния мы имеем типичную дифракционную картину [см. (9.113)]. При больших углах рассеяние изотропно. При промежуточных значениях углов рассеяния происходит интерференция обоих полей и возникают

резкие минимумы рассеянной мощности, так что в некоторых направлениях мощность оказывается значительно меньше, чем в изотропной области (фиг. 9.14). Характер интерференционной картины зависит от ориентации вектора поляризации падающей волны по отношению к плоскости наблюдения, содержащей и . В том случае, когда вектор лежит в этой плоскости, интерференция выражена значительно сильнее, чем в случае, когда вектор перпендикулярен ей.

Фиг. 9.14. Диаграмма рассеяния на проводящей сфере. Видны максимум в прямом направлении, обусловленный рассеянием в области тени, изотропное распределение отраженного излучения и интерференционные максимумы и минимумы.

Полная рассеянная мощность получается интегрированием по всем углам. Если пренебречь интерференционными членами, то полная рассеянная мощность складывается из интеграла по дифракционному максимуму и интеграла от изотропно отраженной части. Легко видеть, что эти интегралы одинаковы по величине, так что

    (9.134)

Этот результат часто формулируют следующим образом: эффективная поверхность сферы (т. е. сечение рассеяния) равна Одно слагаемое обусловлено прямым отражением, а другое связано с дифракционным рассеянием, приводящим к образованию тени за препятствием.

Рассеяние электромагнитных волн на проводящей сфере, в частности для случая длинных волн, рассматривается другим методом в гл. 16, § 9.