§ 8. Магнитогидродинамические волны

В обычной гидродинамике возможен только один тип волн малой амплитуды, а именно продольные (звуковые) волны сжатия. Они распространяются со скоростью s, определяемой производной давления по плотности при постоянной энтропии

Если принять адиабатический закон , то , где у — отношение удельных теплоемкостей. В магнитной гидродинамике возможен также и другой тип волнового движения, связанный с поперечными смещениями силовых линий магнитного поля. При натяжении силовых линий появляется возвращающая

сила, стремящаяся вернуть их в прежнее «более прямолинейное» положение, так что в результате возникают поперечные колебания. По аналогии со звуковыми волнами, которые распространяются со скоростью порядка корня квадратного из отношения гидростатического давления к плотности, следует ожидать, что эти магнитогидродинамические волны, называемые альфвеновскими волнами, будут иметь скорость порядка

где — магнитное давление.

Рассмотрим сжимаемую невязкую идеально проводящую жидкость в магнитном поле при отсутствии гравитационных сил. Ее движение описывается следующей системой уравнений:

К ним следует добавить еще уравнение состояния, связывающее давление и плотность. Предположим, что в равновесном состоянии скорость равна нулю и имеется пространственно однородное статическое магнитное поле пронизывающее однородную жидкость постоянной плотности Введем малые отклонения от равновесных величин

Линеаризируя уравнения (10.66) по этим малым возмущениям, получаем

    (10.68)

где — квадрат звуковой скорости (10.64). Эти уравнения можно скомбинировать таким образом, чтобы получилось одно уравнение для

    (10.69)

Здесь через обозначена векторная альфвеновская скорость:

    (10.70)

Волновое уравнение (10.69) для v довольно сложно, но оно допускает простые решения для волн, распространяющихся параллельно перпендикулярно магнитному полю Если искать решение для в виде плоской волны с волновым вектором к и частотой

    (10.71)

то уравнение (10.69) примет вид —

    (10.72)

Если волновой вектор k перпендикулярен скорости , то последний член в (10.72) равен нулю. В этом случае решением для будут продольные магнитозвуковые волны параллельно ), имеющие фазовую скорость

Отметим, что эти волны распространяются со скоростью, которая С точностью до множителя порядка единицы определяется суммой гидростатического и магнитного давлений. При к, параллельном уравнение (10.72) принимает вид

    (10.74)

В этом случае возможны два типа волн. Имеется обычная продольная волна (скорость параллельна к и ) с фазовой скоростью, равной звуковой скорости s. Но имеется также и поперечная волна с фазовой скоростью, равной альфвеновской скорости Эта альфвеновская волна является чисто магнитогидродинамической и зависит только от магнитного поля (натяжение) и плотности (инерция).

Для ртути при комнатной температуре альфвеновская скорость равна см/сек, а звуковая скорость составляет При обычных напряженностях поля в лабораторных условиях альфвеновская скорость много меньше скорости звука. Наоборот, в астрономических проблемах альфвеновская скорость может быть очень большой из-за весьма малых плотностей. В солнечной фотосфере, например, плотность имеет величину порядка ( атомов водорода в ), так что см . Солнечные

магнитные поля имеют порядок 1—2 гаусс на поверхности и много большую величину в районе солнечных пятен. Для сравнения отметим, что скорость звука как в фотосфере, так и в хромосфере составляет около

Возмущения магнитного поля для различных типов волн можно определить из третьего уравнения (10.68):

Магнитозвуковые волны, распространяющиеся перпендикулярно магнитному полю приводят к сгущению и разрежению силовых линий без изменения их направления (фиг. 10.12, а).

Фиг. 10.12. Магнитогидродинамические волны.

Альфвеновские волны, параллельные вызывают периодические колебания силовых линий (фиг. 10.12, б). В обоих случаях силовые линии вморожены и движутся вместе с жидкостью.

Если проводимость жидкости не бесконечна или же проявляется вязкость, то в результате диссипативных процессов колебания затухают. В этом случае ко второму и третьему уравнениям (10.68) добавляются диссипативные члены:

    (10-76)

здесь — вязкость , а — проводимость. Оба добавочных члена

приводят к дисперсии фазовой скорости, и их влияние проще всего проследить, если искать решение уравнений (10.76) в виде плоской волны. Легко видеть, что уравнения (10.76) эквивалентны для плоских волн следующим уравнениям:

Соответственно уравнение (10.72), связывающее k и , также изменяется: во-первых, умножаются на ; во-вторых, умножается на .

Для важного случая альфвеновской волны, распространяющейся параллельно полю, соотношение между со и k принимает вид

Если члены, содержащие сопротивление и вязкость, можно считать малыми, то волновое число определяется приближенным выражением

Это выражение показывает, что затухание быстро растет с повышением частоты (или волнового числа) и уменьшается при возрастании напряженности магнитного поля. Если отвлечься от эффекта вязкости, то влияние мнимой части волнового вектора таково, что за время диффузии (см. § 3) интенсивность волны уменьшается в раз [если в (10.12) за характерную длину принять длину волны]. В противоположном предельном случае, когда члены, содержащие сопротивление и вязкость, являются преобладающими, волновое число можно определить, приравнивая нулю выражения в скобках в правой части (10.78). При этом k имеет одинаковые действительную и мнимую части, и волна быстро затухает независимо от величины магнитного поля.

Проведенное выше рассмотрение магнитогидродинамических волн применимо только для сравнительно низких частот, поскольку мы пренебрегли токами смещения в законе Ампера. Очевидно, что при очень высоких частотах мы должны перейти к описанному в гл. 7, § 9, поведению, характерному для ионосферы, когда определяющую роль играют эффекты, связанные с разделением зарядов. Однако если даже в магнитогидродинамическом описании пренебрегать эффектом разделения зарядов, токи смещения все же будут влиять на распространение альфвеновских и магнитозвуковых

волн. Закон Ампера с учетом токов смещения имеет вид

    (10.80)

где электрическое поле Е исключено с помощью приближения бесконечной проводимости (10.9). Отсюда находим плотность тока, входящую в уравнение движения жидкости:

Второе из уравнений линеаризованной системы (10.68) при этом обобщении примет вид

    (10.82)

Отсюда получаем следующее волновое уравнение для

    (10.83)

Его исследование показывает, что если скорость параллельна (т. е. параллельна ), то результаты не отличаются от предыдущих. Однако для поперечной скорости (для магнитозвуковых волн с волновым вектором к, перпендикулярным или для альфвеновских волн с к, параллельным ) квадрат частоты умножается на величину . Таким образом, фазовая скорость альфвеновских волн становится равной

В обычных условиях, когда эта скорость близка к и токи смещения несущественны. Но если то фазовая скорость становится равной скорости света. Если рассматривать поперечные альфвеновские волны как электромагнитные волны, то их можно интерпретировать как волны в среде с показателем преломления, определяемым соотношением

    (10.85)

Отсюда

    (10.86)

При использовании этого соотношения для характеристики распространения электромагнитных волн в плазме необходимо соблюдать осторожность, поскольку оно применимо только для частот, при которых несущественны эффекты, связанные с разделением зарядов.