§ 6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы при мгновенном движении по окружности

Как было показано в § 4, ультрарелятивистская частица при произвольном ускоренном движении излучает так же, как заряд, движущийся с постоянной скоростью по окружности с радиусом, равным мгновенному радиусу кривизны. Излучение сконцентрировано в узком конусе, ось которого направлена вдоль вектора скорости и регистрируется наблюдателем как короткий импульс излучения, возникающий при прохождении иглообразного луча через точку наблюдения.

Фиг. 14.9.

Для определения частотного и углового распределения энергии необходимо вычислить интеграл в (14.67). Так как длительность импульса излучения очень мала, необходимо знать скорость Р и положение частицы лишь на малой дуге траектории, на которой касательная направлена приблизительно в точку наблюдения. На фиг. 14.9 изображена принятая система отсчета. Отрезок траектории и мгновенный радиус кривизны q лежат в скости Так как интеграл берется вдоль траектории, можно без потери общности рассмотрения считать, что единичный вектор расположен в плоскости и образует угол с осью Интенсивность излучения имеет заметную величину лишь для очень малых . Начало отсчета времени выбрано так, чтобы при частица находилась в начале координат.

Векторный множитель подынтегрального выражения в (14.67) можно записать в виде

    (14.75)

где единичный вектор в направлении оси у, соответствующий поляризации в плоскости орбиты, вектор нормальной поляризации, приблизительно соответствующий поляризации, нормальной плоскости орбиты (для малых ). Показатель экспоненты в подынтегральном выражении равен

    (14.76)

Так как мы ограничиваемся лишь малыми углами и коротким интервалом времени вблизи можно разложить тригонометрические функции в (14.76) по малым аргументам. В результате получим

    (14.77)

величина , где это возможно, заменена единицей. Используя оценочные соотношения [см. (14.42)], легко показать, что отношение опущенных в (14.77) членов к оставленным имеет порядок

Используя в (14.75) те же приближения, как и при выводе соотношения (14.77), преобразуем выражение (14.67) для распределения энергии излучения к виду

где амплитуды определяются соотношениями

    (14.79)

Произведя замену переменной и вводя параметр

можно преобразовать интегральные представления для и к виду

    (14.81)

Интегралы (14.81) выражаются через функции Эйри, или модифицированные функции Бесселя,

    (14.82)

В результате энергия, излученная в единицу телесного угла в единичном интервале частот, оказывается равной

Первое слагаемое в квадратных скобках соответствует излучению, поляризованному в плоскости орбиты, второе — излучению, поляризованному перпендикулярно этой плоскости.

Проанализируем теперь этот довольно сложный результат. Прежде всего проинтегрируем выражение по всем частотам и найдем угловое распределение энергии

Это выражение описывает все характерные свойства излучения, рассмотренные в § 3. Соотношение (14.84) может быть, конечно, получено непосредственным интегрированием по времени несколько видоизмененного выражения (14.44) для мощности излучения

при движении по окружности. Так же как и в (14.83), первое слагаемое в (14.84) соответствует поляризации, параллельной орбитальной плоскости, а второе — перпендикулярной поляризации. Проинтегрировав по всем углам, мы найдем, Что энергия излучения с поляризацией, параллельной орбитальной плоскости, в 7 раз превосходит энергию излучения с перпендикулярной поляризацией. Таким образом, излучение релятивистски движущегося заряда в основном, хотя и не полностью, поляризовано в плоскости движения. Для нерелятивистского движения, как очевидно из (14.65), излучение полностью поляризовано в плоскости движения.

Как следует из свойств модифицированных функций Бесселя [см. (3.103) и (3.104)], интенсивность излучения пренебрежимо мала при Согласно (14.80), это соответствует случаю больших углов; чем выше частота, тем меньше критический угол, вне пределов которого интенсивность излучения пренебрежимо мала. Таким образом, излучение сосредоточено в основном вблизи плоскости движения, как видно из (14.84), причем область заметного излучения тем меньше, чем выше отношение частоты к величине Однако если частота со становится очень большой, то параметр будет, очевидно, большим для всех углов. Следовательно, на таких частотах полная излученная энергия пренебрежимо мала. Критическая частота сос, при превышении которой излучение в любом направлении становится пренебрежимо малым, может быть определена из условия для Это приводит к соотношению

    (14.85)

Это значение критической частоты, как легко видеть, согласуется с результатом качественной оценки (14.50) (см. § 4). При движении заряда по окружности величина равна основной частоте вращения . В этом случае можно определить критическую гармонику номер которой равен

    (14-86)

Так как при излучение сконцентрировано в основном в орбитальной плоскости, представляет интерес вычислить интенсивность излучения (14.83) при Для частот, гораздо меньших критической частоты сос), получим

В противоположном предельном случае сос имеем

    (14.88)

Из этих предельных выражений видно, что интенсивность излучения при возрастает приблизительно как при частотах ниже критической, достигает максимума в окрестности и экспоненциально спадает до нуля на более высоких частотах.

Угловые размеры области, в которой сосредоточено излучение на данной фиксированной частоте, можно оценить, вычислив угол для которого . Для низкочастотной области величина очень мала и, таким образом, Это условие дает

Мы видим, что ширина угловой области излучения для низкочастотных составляющих гораздо больше среднеквадратичного значения . В высокочастотном предельном случае величина гораздо больше единицы. При этом интенсивность убывает с увеличением угла приблизительно по закону

Критический угол, определяемый спаданием интенсивности в раз, оказывается равным

Очевидно, что высокочастотные составляющие заключены в угловой области, размеры которой гораздо меньше средних. На фиг. 14.10 изображен качественный ход кривых углового распределения интенсивности для различных диапазонов частот.

Спектральное распределение полной энергии, излученной при пролете частицы, можно определить, проинтегрировав выражение (14.83) по углам:

    (14.92)

(напомним, что через 0 обозначен угол, дополнительный к широте).

Для низкочастотной области можно получить оценку интеграла, воспользовавшись угловым распределением (14.87) при и значением (14.89) критического угла При этом

    (14.93)

Отсюда видно, что интенсивность излучения при сос возрастает как Такая зависимость приводит к очень монотонной,

плоской форме спектра на частотах ниже . В другом предельном случае высоких частот, когда , можно проинтегрировать (14.90) по углам и получить довольно точный результат

    (14.94)

Выполняя соответствующее интегрирование по углам общего выражения (14.83) для распределения излучения, находим

    (14.95)

В пределе это выражение переходит в (14.93) с численным коэффициентом 3,25; для оно совпадает с (14.94).

Фиг. 14.10. Угловое распределение интенсивности излучения при разных частотах. При частотах, сравнимых с критической частотой , излучение сосредоточено в угловой области порядка Для много меньших частот размеры угловой области больше, а для больших частот, наоборот, меньше.

Зависимость от частоты показана на фиг. 14.11. Максимальная интенсивность по порядку величины равна а полная излученная энергия имеет порядок Последняя величина согласуется со значением для радиационных потерь за оборот в циклических ускорителях [см. (14.32)].

Излучение, описываемое соотношениями (14.83) и (14.95), называют синхротронным излучением, так как впервые оно наблюдалось в электронных синхротронах (1948 г.). Соответствующие теоретические расчеты для движения по окружности, однако, гораздо

раньше выполнил Шотт (1912 г.). При периодическом движении по окружности спектр излучения в действительности дискретен и состоит из набора частот, кратных основной частоте Так как заряженная частица периодически повторяет свое движение с частотой оборотов в секунду, более удобно говорить об угловом распределении мощности излучения на гармонике, а не об энергии излучения в единичном интервале частот при пролете частицы.

Фиг. 14.11. Зависимость интенсивности синхротронного излучения от частоты. Интенсивность отнесена к а частота — к [см. (14.85)].

Чтобы получить выражение для потери мощности на гармонике, следует лишь умножить величину , определяемую соотношением (14.95), или определяемую соотношением (14.83), на частоту вращения для перехода от энергии излучения к мощности или на для перехода от интенсивности, отнесенной к единичному интервалу частот, к интенсивности, отнесенной к одной гармонике. В результате получим

    (14.96)

Найденные теоретические соотношения были подробно сопоставлены с экспериментальными данными Для этого было необходимо усреднить спектры излучения по периоду цикла ускорения, так как энергия электронов непрерывно возрастает (см. задачу 14.13). При максимальной энергии спектр излучения занимает

область от основной частоты до . Излучение перекрывает видимую область и имеет голубовато-белый цвет. Результаты тщательных измерений полностью согласуются с теорией.

Синхротронное излучение наблюдалось также при исследовании солнечных пятен и Крабовидной туманности; кроме того, им, по-видимому, объясняется излучение Юпитера на частоте Спектр излучения Крабовидной туманности простирается от области радиочастот до далекой ультрафиолетовой области, при этом излучение очень сильно поляризовано. Детальное исследование показывает, что электроны с энергией до возбуждают такое синхротронное излучение при своем движении по круговой или спиральной орбите в магнитном поле порядка гаусс (см. задачу 14.15). Источником радиоизлучения Юпитера являются, по-видимому, электроны, захваченные поясами Ван Аллена, расположенными на расстоянии порядка нескольких радиусов от поверхности Юпитера. В настоящее время еще не ясно, является ли это излучение синхротронным излучением, испускаемым релятивистскими электронами, или это так называемое циклотронное излучение нерелятивистских электронов, движущихся по спиральным траекториям в магнитном поле планеты. Во всяком случае, наблюдаемое излучение сильно поляризовано параллельно экваториальной плоскости Юпитера, как и следует ожидать для частиц, захваченных полем диполя и движущихся по спиральным траекториям вдоль силовых линий.