§ 4. Присоединенные функции Лежандра и сферические гармоники ...
До сих пор мы рассматривали задачи с азимутальной симметрией, так что решение имело вид (3.33) и содержало лишь обычные полиномы Лежандра. Однако в общем случае может, конечно, иметь место зависимость потенциала от азимута, так что в (3.5) и 
этом случае нам необходимо получить решение уравнения (3.9) при произвольных 
, являющееся обобщением функции 
Точно также, как и для обычных функций Лежандра, можно показать, что, для того чтобы решение было конечным на интервале 
параметр 
должен быть нулем или положительным целым числом и что целое число 
может принимать лишь значения — 
Обладающее этими свойствами решение называется присоединенной функцией Лежандра и обозначается 
Для положительных 
справедлива формула 2)
Если 
представить с помощью формулы Родрига, то можно прийти к соотношению
справедливому как при положительных, так и при отрицательных т. Функции 
пропорциональны друг другу, поскольку дифференциальное уравнение содержит лишь 
— целое число. Можно показать, что
При фиксированном 
функции 
образуют ортогональную систему по индексу 
интервале 
Условие ортогональности может быть получено тем же методом, что и для полиномов Лежандра, и имеет вид
Решение уравнения Лапласа представляется как произведение трех множителей, зависящих соответственно от 
Удобно объединить вместе угловые множители и построить систему ортонормированных функций на сфере. Мы будем называть эти функции сферическими гармониками, хотя так иногда называют общее решение обобщенного уравнения Лежандра (3.9). В более старых руководствах сферические гармоники называют иногда тессеральными функциями. Функции 
образуют полную систему ортогональных функций по индексу 
на интервале 
Точно так, же функции 
образуют полную ортогональную систему по индексу 
для каждого 
на интервале 
Поэтому их произведение 
образует полную ортогональную систему на поверхности единичной сферы по двум индексам 
условия нормировки (3.52) видно, что нормированные функции, которые мы обозначим через 
имеют вид
Из (3.51) следует, что
Условие нормировки и ортогональности имеет вид
Условие полноты, эквивалентное (2.41), записывается следующим образом:
Ниже приводятся сферические гармоники 
Для 
скольких первых значений 
и для 
Для отрицательных значений 
можно воспользоваться соотношением (3.54).
Сферические гармоники 
Следует отметить, что при 
Произвольную функцию 
) можно разложить в ряд по сферическим гармоникам:
Коэффициенты ряда равны
В § 5 нам понадобится разложение для 
. В соответствии с (3.57) имеем, очевидно:
где
Все члены ряда с 
обращаются в нуль при 
Общее решение граничной задачи в сферических координатах имеет вид суммы произведений сферических гармоник на соответствующие степени 
:
Это выражение является обобщением соотношения (3.33). Если значение потенциала задано на некоторой сферической поверхности, то коэффициенты разложения можно найти, вычисляя значение потенциала (3.61) на поверхности [см. (3.58)].
