§ 2. Энергия магнитного поля

При рассмотрении постоянных магнитных полей в гл. 5 мы оставили в стороне вопрос об энергии поля и плотности энергии. Это объясняется тем, что для того, чтобы создать какую-либо конфигурацию постоянных токов и соответствующих им магнитных полей, требуется некоторый переходный период, в течение которого токи и поля изменяются от нуля до своих стационарных значений. Переменные во времени поля вызывают электродвижущие силы, вследствие чего источники тока совершают некоторую работу. Поскольку энергия поля, по определению, является полной работой, необходимой для создания поля, мы должны учесть и работу против электродвижущих сил.

Предположим сначала, что мы имеем отдельный контур с постоянным током . При изменении потока через контур в нем возникает электродвижущая сила Для того чтобы ток остался постоянным, источники тока должны в единицу времени совершать работу

(помимо работы, расходующейся на омические потери, которая не включается в магнитную энергию). Отсюда следует, что при изменении потока через контур с током на величину работа, совершаемая источниками, равна

Рассмотрим теперь работу, необходимую для создания произвольного распределения постоянных токов и полей. Мы можем предположить, что процесс создания полей происходит с бесконечно малой скоростью, так что с желаемой степенью точности соблюдается соотношение При этом распределение токов можно разбить на совокупность элементарных замкнутых контуров.

Фиг. 6.3. Разбиение распределенного тока на элементарные контуры.

Одним из таких контуров является показанная на фиг. 6.3 элементарная трубка тока с поперечным сечением , замкнутая в контур С, окружающий поверхность S с нормалью .

Выразим дополнительную работу, совершаемую против наводимой э. д. с., через изменение магнитной индукции в этом элементарном контуре

Знак А показывает, что рассматривается только один элементарный контур. Выражая В через векторный потенциал А, мы получаем

или, применяя теорему Стокса,

Но равно так как элемент параллелен J. Очевидно, суммирование повеем элементарным контурам приводит к объемному интегралу. Таким образом, полная работа, совершаемая внешними источниками при изменении векторного потенциала на величину запишется как

Чтобы перейти от J и к магнитным полям, воспользуемся законом Ампера

Отсюда

С помощью векторного тождества

мы можем преобразовать выражение (6.13) к виду

    (6.14)

Если распределение токов предполагается ограниченным, то второй интеграл обращается в нуль. Учитывая связь В и А, мы можем записать приращение энергии в виде

Это соотношение является магнитным аналогом электростатического соотношения (4.89). В полученной здесь форме оно применимо к любым магнитным средам, включая ферромагнитные материалы. Если предположить, что среда пара- или диамагнитна, так что между Н и В существует линейная связь, то

При изменении полей от нуля до их конечной величины общая магнитная энергия будет в этом случае равна

Это — магнитный аналог выражения (4.92).

Чтобы получить соотношение, эквивалентное соотношению (4.86) в котором электростатическая энергия выражена через плотность заряда и потенциал, следует в (6.12) предположить линейную связь между Ли А. Тогда магнитная энергия представляется в виде

Задача об определении изменения магнитной энергии при внесении в магнитное поле некоторого тела с магнитной проницаемостью при фиксированных источниках тока может быть рассмотрена

вполне аналогично соответствующей электростатической задаче (см. гл. 4, § 8). Роль Е здесь играет В, а роль D играет Н. Первоначально мы имеем среду с магнитной проницаемостью в которой существует магнитная индукция После внесения тела индукция и поле становятся равными В и Н. В качестве упражнения читатель может проверить, что при фиксированных источниках поля изменение энергии будет описываться выражением

где интегрирование производится по объему внесенного тела. Это выражение можно переписать также в виде

Здесь могут быть функциями координат, но они предполагаются не зависящими от напряженности поля.

Для тела, находящегося в свободном пространстве изменение энергии можно выразить через намагниченность

Следует отметить, что соотношение (6.20) с точностью до знака эквивалентно соответствующему электростатическому выражению (4.96). Изменение знака вызвано тем, что энергия W — это полное изменение энергии при внесении в поле намагничивающегося тела, включая и работу, совершаемую источниками против электродвижущих сил индукции. В этом смысле магнитная задача с фиксированными токами аналогична электростатической задаче с фиксированными потенциалами на проводниках. Рассуждения, аналогичные приведенным в гл. 4, § 8, показывают, что при малом смещении работа, совершаемая против индуцированных э. д. с., в 2 раза больше и противоположна по знаку изменению потенциальной энергии тела. Поэтому для нахождения силы, действующей на тело при обобщенном смещении , мы должны вычислить положительную производную W по смещению I

Индекс J указывает на то, что производная берется при фиксированных токах.

Разница между (6.20) и потенциальной энергией (5.73) постоянного магнитного момента во внешнем поле (кроме множителя который является следствием предполагаемой линейной зависимости

между М и В) связана с тем, что (6.20) выражает полную энергию, требуемую для создания данной конфигурации, тогда как (5.73) включает только работу совершаемую при внесении постоянного магнитного момента в поле, и не содержит работы по созданию магнитного момента и по поддержанию его постоянным.