§ 2. Постулаты специальной теории относительности и преобразование Лоренца

В 1904 г. Лоренц показал, что уравнения Максвелла в свободном пространстве инвариантны относительно преобразования координат (11.19) (которое называется теперь преобразованием Лоренца), если принять, что напряженности полей также преобразуются подходящим образом. В предположении, что все вещество имеет электромагнитную природу и поэтому для него справедливы уравнения Максвелла, Лоренцу удалось вывести закон сокращения (11.10). Затем Пуанкаре показал, что при соответствующем преобразовании плотностей зарядов и токов все уравнения электродинамики становятся инвариантными относительно преобразования Лоренца. В 1905 г. почти одновременно с Пуанкаре и не зная о работе Лоренца, Эйнштейн сформулировал в общей и вполне замкнутой форме специальную теорию относительности, где были, в частности, получены результаты Лоренца и Пуанкаре и было показано, что исходные принципы имеют гораздо более широкую область применимости. Вместо того чтобы исходить из электродинамики, Эйнштейн показал, что достаточно лишь двух постулатов, один из которых касается весьма общего свойства света.

Два постулата Эйнштейна заключаются в следующем:

1. Постулат относительности

Законы природы и результаты всех опытов, производимых в какой-либо системе отсчета, не зависят от равномерного прямолинейного движения системы в целом. Таким образом, существует трижды бесконечное множество эквивалентных систем отсчета, которые движутся прямолинейно с постоянными скоростями относительно друг друга и в которых все физические явления происходят одинаково.

Для краткости эти эквивалентные координатные системы называют галилеевскими системами отсчета. Постулат относительности

согласуется со всем нашим опытом, накопленным в механике, где имеет смысл только относительное движение тел. Он согласуется также с опытом Майкельсона — Морли и делает бессмысленной постановку вопроса об определении движения относительно эфира.

2. Постулат постоянства скорости света Скорость света не зависит от движения источника.

Эта гипотеза, которая в момент ее выдвижения Эйнштейном еще не была подтверждена экспериментально, является необходимой и решающей предпосылкой для получения преобразований Лоренца и всех их следствий (см. ниже). Поскольку этот постулат противоречит нашему классическому представлению о времени как о переменной, не зависящей от пространственных координат, то длительное время его не признавали. Было сделано много остроумных попыток создания теорий, которые объяснили бы все наблюдаемые явления без привлечений этой гипотезы. Одной из выдающихся попыток было видоизменение электродинамики, предложенное Ритцем. В этой теории два однородных уравнения Максвелла оставлялись без изменений, а уравнения, содержащие источники, видоизменялись таким образом, чтобы скорость света была равна с, только при измерении ее относительно источника. В настоящее время экспериментально доказано, что все эти теории неверны, и установлено постоянство скорости света независимо от движения источника. Одним из таких экспериментов был опыт, поставленный с интерферометром Майкельсона — Морли, где вместо земного источника света использовался свет звезд. При этом не было обнаружено никаких эффектов, связанных с изменением скорости света из-за относительного движения звезды и Земли. Другой эксперимент, где использовался свет от вращающихся двойных звезд, показал, что скорость света в пределах точности не зависит от движения звезд к нам или от нас (если то ).

Постоянство скорости света независимо от движения источника позволяет найти связь между пространственно-временными координатами в различных галилеевских системах отсчета. Рассмотрим для этого две координатные системы К и К - Система К движется относительно системы К со скоростью v в положительном направлении вдоль оси z таким образом, что координатные оси обеих систем остаются параллельными (фиг. 11.4). Пространственно-временные точки в этих двух системах мы обозначим соответственно через Предположим для простоты, что время в обеих системах отсчитывается от того момента когда координатные оси этих систем точно совпадали. Пусть наблюдатели в каждой из систем снабжены всеми необходимыми приборами

(например, системой сверенных часов и фотоэлементами, расположенными на известных расстояниях от начала координат), которые позволяют определить время прибытия светового сигнала из начала координат в различные точки пространства. Если в системе К имеется покоящийся источник света (так что в системе К он движется со скоростью v в отрицательном направлении оси ), который вспыхивает и быстро гаснет в момент то, согласно второму постулату Эйнштейна, оба наблюдателя с помощью своей системы фотоэлементов должны обнаружить сферическую световую волну, расходящуюся от соответствующего начала координат со скоростью с.

Фиг. 11.4.

Следовательно, время прибытия импульса на детектор; находящийся в точке в системе К, будет удовлетворять уравнению

    (11.11)

Аналогично в системе К волновой фронт описывается уравнением

    (11.12)

На первый взгляд соотношения (11.11) и (11.12) противоречат первому постулату Эйнштейна. Если оба наблюдателя, находящихся в различных координатных системах, видят сферические волны с центрами в началах координат каждой системы, то эти сферы должны быть различными! Это кажущееся противоречие устраняется, если допустить возможность того, что события, одновременные в одной координатной системе, не обязательно одновременны в другой координатной системе, движущейся относительно первой. Мы вправе ожидать теперь, что время не является абсолютной

величиной, не зависящей от пространственных переменных и относительного движения.

Для получения связи между координатами в системе К и координатами в системе К достаточно потребовать, чтобы соответствующее преобразование было линейным. Это требование представляется весьма правдоподобным и эквивалентно предположению об однородности и изотропности пространства — времени. Если преобразование линейно, то связь между квадратичными формами (11.11) и (11.12) может иметь лишь следующий вид:

где Введение множителя А, предполагает возможность изменения масштаба при переходе от К к При этом поверхность излученного импульса в обеих системах остается сферой. Поскольку мы предположили, что система К движется параллельно оси z системы то очевидно, что преобразование х и у должно иметь вид

    (11.14)

и не содержать времени, так как движение, параллельное оси z в системе должно оставаться таким же и в системе Наиболее общее линейное преобразование, связывающее имеет вид

    (11.15)

где для удобства выделен множитель К. Коэффициенты являются функциями v и имеют следующие предельные значения при

    (11.16)

Начало координат системы К движется в системе К со скоростью V. Следовательно, его положение определяется равенством . Отсюда следует, что в соотношениях (11.15) Подставляя (11.15) в (11.13), мы приходим к трем алгебраическим уравнениям для Решая эти уравнения, получаем следующие величины:

    (11.17)

где знак выбран в соответствии с (11.16). Нам остается теперь только определить Введем третью систему отсчета движущуюся со скоростью —v вдоль оси относительно системы При этом координаты выражаются через с помощью полученных выше формул, если просто изменить знак v.

Фиг. 11.5.

Но система К" это не что иное, как исходная система так что Это приводит к требованию

    (11.18)

Поскольку множитель выражает изменение масштаба в поперечном направлении, он не должен зависеть от знака v, откуда следует, что . Теперь мы уже в состоянии написать преобразование Лоренца, связывающее координаты в системе К с координатами в системе К:

Это преобразование соответствует частному случаю, когда относительное движение систем К и К параллельно оси z. Нетрудно получить также соответствующие соотношения для произвольного направления скорости v движения системы К относительно К (фиг. 11.5). Соотношения (11.19), очевидно, относятся к составляющим радиуса-вектора параллельным и перпендикулярным

Согласно определению, и, следовательно, уравнения (11.20) приводят к общему преобразованию Лоренца:

    (11.21)

Следует подчеркнуть, что (11.21) описывает одно преобразование Лоренца к системе отсчета Кдвижущейся со скоростью v относительно системы К- Два последовательных преобразования Лоренца, вообще говоря, неперестановочны. Можно показать, что они перестановочны лишь в том случае, когда относительные скорости параллельны. Следовательно, три последовательных преобразования для скоростей, соответствующих составляющим v по трем взаимно перпендикулярным направлениям, приводят к различным результатам в зависимости от порядка применения преобразований и ни одно из них не совпадает с (11.21) (см. задачу 11.2).