3. Граничные задачи с азимутальной симметрией

Из общего вида (3.2) решения уравнения Лапласа в сферических координатах следует, что для задач, обладающих азимутальной симметрией, нужно в (3.5) положить Поэтому общее решение задачи имеет вид

Коэффициенты определяются из граничных условий. Допустим, что задано значение потенциала на поверхности сферы радиусом а и требуется найти значение потенциала внутри сферы. Если в начале координат нет заряда, то потенциал должен быть конечен в этой точке, так что для всех . Коэффициенты можно найти, вычисляя значения ряда (3.33) на поверхности сферы:

Соотношение (3.34) представляет собой разложение по полиномам Лежандра типа (3.23), так что коэффициенты определяются следующим образом:

Рассмотрим опять пример, обсуждавшийся в гл. 2, § 8, т. е. две полусферы, имеющие потенциал

в этом случае коэффициенты будут пропорциональны коэффициентам ряда (3.27), Таким образом, для потенциала внутри сферы

получается выражение

Чтобы найти потенциал вне сферы, достаточно просто заменить на Легко видеть, что получающееся при этом решение совпадает с выражением (2.33), найденным другим методом.

Потенциал может быть единственным образом представлен в виде ряда (3.33), коэффициенты которого определяются граничными условиями. Эта однозначность позволяет иногда найти значение потенциала во всей области по его значению в какой-либо ее части, например на оси симметрии. На оси симметрии соотношение (3.33) принимает вид (при положительных )

Для отрицательных z каждый член следует умножить на коэффициент . Допустим, что мы каким-либо способом можем найти потенциал для некоторой произвольной точки z на оси симметрии . Если эта функция может быть разложена в ряд по z вида (3.38) с известными коэффициентами, то решение для произвольной точки пространства находится умножением каждого члена вида или на

Рискуя надоесть читателю, вернемся еще раз к задаче о двух полусферах, находящихся под потенциалами, равными по величине и противоположными по знаку. Мы уже получили решение этой задачи двумя способами [см. (2.33) и (3.37)]. Изложенный выше метод дает третий способ решения этой же задачи. Для точек на оси симметрии ранее было получено выражение (2.28) для потенциала

Разлагая по степеням получаем

Сопоставляя это разложение с мы видим, что в нем содержатся лишь нечетные значения Решение,

справедливое для всех точек вне сферы, имеет, очевидно, следующий вид:

Это выражение, конечно, совпадает с ранее полученными разложениями (2.33) и (3.37).

Фиг. 3.3.

Важную роль играет разложение потенциала в точке создаваемого единичным точечным зарядом в точке

Здесь — соответственно меньшая и большая из величин , а у — угол между (фиг. 3.3). Чтобы доказать соотношение (3.41), повернем оси координат так, чтобы вектор был расположен вдоль оси . Тогда потенциал, удовлетворяя уравнению Лапласа, будет обладать азимутальной симметрией, т. е. его всюду, кроме точки можно представить в виде (3.33):

Для точек на оси правая часть принимает вид (3.38), тогда как левая часть равна

Разлагая последнее выражение в ряд, получаем

Для точек вне оси достаточно, согласно (3.33) и (3.38), умножить каждое слагаемое в (3.44) на . В результате получим требуемое соотношение (3.41).

В качестве второго примера рассмотрим потенциал кругового кольца радиусом а с равномерно распределенным по нему зарядом

Фиг. 3.4. Заряженное кольцо радиусом а с полным зарядом Ось кольца совпадает с осью , а его центр находится в точке

Пусть ось кольца совпадает с осью , а его центр находится в точке (фиг. 3.4). Потенциал в точке Р, находящейся на оси симметрии и имеющей координату равен просто заряду деленному на расстояние :

где Правая часть может быть разложена согласно (3.41). Так, при

а при

Потенциал в любой точке пространства получается умножением каждого члена этого ряда на

Здесь — соответственно большая и меньшая из величин .